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Je ne l'ai pas précisé mais le raisonnement est quasiment identique pour s : s(x+y)=s((f+f')+(g+g'))=f+f'-(g+g')=(f-g)+(f'-g')=s(x)+s(y) s(\lambda x)=s(\lambda f +\lambda g )=\lambda f - \...

Oui passe par la définition pour montrer que les symétries et les projections sont linéaires. Tu n'as pas besoin par contre de montrer qu'elles sont nulles en 0. Ca ne sert à rien. Une application linéaire est toujours nulle en 0. Seules les deux dernières conditions correspondent à la vraie défini...

Tu peux montrer la linéarité de p et s en passant par la décomposition sur la somme directe de F et de G. La caractérisation des rotations se fait bien sur R^2 et R^3. Dois-je passer par la définition d'une application linéaire ? - p(0_E)=0_E ; - \forall x,y\in E, p(x+y)=p(x)...

Effectivement, je n'ai pas fait attention à ce que j'ai écrit, c'est bien p^2=p. Tu peux montrer la linéarité de p et s en passant par la décomposition sur la somme directe de F et de G. La caractérisation des rotations se fait bien sur R^2 et R^3. Tu trouveras tout ce qu'il faut ici: http://fr.wik...

Ce que tu dis pour les symétries est correct. Pour les projections: Soit E = F \oplus G . On appelle p la projection sur F parrallèlement à G. Si x est un élément de E, il s'écrit x = f + g et cette décomposition est unique. Et alors: p(x) = f Tu remarqueras que la somme directe te permet de défini...

Oui les opérations peuvent différer d'une structure à l'autre. La liste des propriétés varie selon les structures considérées. Pour un morphisme f d'un groupe (G,*) vers un groupe (H,°), la propriété principale c'est : pour tous x et y de G, f(x*y) = f(x)°f(y). L'image par f de la composée de x et ...

Bonjour, les morphismes (aussi appelés homomorphismes, c'est la même chose) sont des applications entre deux ensembles structurés qui respectent leur structure (l'image de la composée est la composée des images, etc). Quand tu me dis ça, ca veut dire par exemple que f(x+y)=f(x)+f(y) ? Mais quand on...

J'ai essayé de démontrer en détail (pour voir si je comprenais bien) que pour toute symétrie s , on a s^2=Id , dites-moi si je me trompe. On se place sur E=F\oplus G où F et G sont deux sous-espaces vectoriels d'un même même espace vectoriel E . On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G ...

Par contre, pdt qu'on y est, je ne comprends pas la notion de projection en algèbre. Pourrais-tu me l'expliquer comme tu l'as fait avec la symétrie s'il te plait ? Par contre, pdt qu'on y est, je ne comprends pas la notion de projection en algèbre. Pourrais-tu me l'expliquer comme tu l'as fait avec ...

egan a écrit:Parce qu'une symétrie et une projection sont linéaires.

Ok très bien merci encore pour ce coup de pouce :lol2:

Grâce à toi j'ai compris cette notion de symétrie en algèbre linéaire.

Quand je dis mal définie, ça veut dire que l'application considérée peut envoyer un élément de son ensemble de définition sur deux images différentes, ce qui n'est pas possible. Le résultat suivant est vrai et important: Soit f une application linéaire. f est une projection si et seulement si f^2 =...

Si la somme n'est pas directe, la décomposition x = f + g n'est pas unique et donc l'image s(x) = f - g ne l'est pas non plus. Du coup, s n'est pas bien définie. C'est la même chose avec les projections. La projection sur F parallèlement à G est définie par: p(x) = f Si la somme n'est pas directe, ...

Je rectifie un peu ce que j'ai dit tout à l'heure. Une rotation peut être une symétrie si elle est d'angle 0 ou pi. Mais comme je le disais tout à l'heure. C'est le résultat suivant qui est vraiment important: Une application linéaire est une symétrie si et seulement si son carré est égal à l'ident...

Une symétrie vérifie toujours \sigma^2 = Id . C'est même une caractérisation. Attention, une rotation n'est pas une symétrie. Et toutes les symétries sauf l'identité sont d'ordre 1. Ah ben oui ! Symétrie axiale et centrale ! (Il n'y a pas d'autres symétries ?) Il faut les composer au moins une fois...

A ton avis quel est l'ordre d'une symétrie ? Selon moi, ca dépend de la nature de la symétrie, non ? Si c'est une symétrie axiale, alors elle est d'ordre 2 ; si c'est une rotation d'angle \theta , alors son ordre est le plus petit n tel que n\theta \equiv 0 [2\pi] . J'ai pris en exemple la rotation...

Pour la question 3°) sinon, j'obtiens : (\rho^n \circ \sigma)(z)=e^{in \frac{2\pi}{5} } \bar z (\sigma \circ \rho^n)(z)=e^{-in \frac{2\pi}{5} } \bar z Ai-je bon ? Les symétries de \sigma \circ \rho^n sont les mêmes que celles de \rho^n \circ \sigma mais avec l'angle o...

Salut ! Oui, du coup, je pense avoir compris ce que tu m'as dit : \sigma \rho^n (z)= e^{i 2n \frac{\pi}{5} } z donc suivant n\in\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z} , \sigma \rho^n est une symétrie axiale passant dirigé par e^{i n \frac{\pi}{5} } . Quand j'y pense, il y a quelque chose de trivial : \for...

leon1789 a écrit:car Z/3Z et Z/(3) sont deux notations pour la même chose.

Est-ce que ça a un rapport avec l'ensemble quotient : quand on a un ensemble E avec une relation ~ que l'on note : E/~ ?

leon1789 a écrit:parce que 2 = -1 modulo 3

ok.

Et pourquoi Z/3Z = Z/3 ?

leon1789 a écrit:oui, Z/3Z et Z/(3) sont deux notations pour la même chose.

Bonjour, cette discussion a attiré ma curiosité :

je croyais qye Z/3Z={0,1,2}, pourquoi serait-il égal à {-1,0,1} ?

Enfin, je ne comprends pas bien la notation Z/3, pourriez-vous m'éclairer ?