Eh bien si tu appelles R_b le rayon de ta deuxième série, et que tu as comme tu le dis presque (a_n R_b^n) qui est bornée alors le rayon de ta série associée à a_n ne peut qu'être plus grand ou égal à celui de ta série associée à b_n sans quoi tu aurais (a_n R_b^n) qui ne serait pas...
Alors tu sais que un/n tend vers a, et donc que un ressemble à n*a en l'infini. Ce que tu peux faire, c'est justifier que u1+..+un ressemble à a+2a+3a+..+na en l'infini, et tu auras fini.
En fait ce qu'on peut faire c'est montrer que la suite des termes pairs est croissante et celle des impaires est décroissante. Comme c'est borné, chacune de ces deux suites convergent et comme leur limite est nécessairement le nombre d'or, les deux convergent vers la même limite et la suite initiale...
Ce n'est pas parce qu'un truc tend vers l'infini que son intégrale diverge. Ici tu peux voir ça comme ça: ta fonction ressemble à du ln(u) quand u tend vers 0. Et tu sais qu'une primitive de ln(u) est u*ln(u)-u, qui a une limite en 0, donc ton intégrale va bien exister. Cependant si tu n'as jamais v...
Salut. Tu peux tenter un ipp pour te débarrasser du ln. Sinon pour la définition, c'est prolongeable par continuité en 0, et en 1 c'est de l'ordre de ln(1-x), ce qui est intégrable.
Salut. La réponse est non: tu prends f=g sur [1,+l'infini[, intégrable, typiquement ext(-t). Sur [0,1], tu prends f=1, g=2x. Comme l'integrale entre u et 1 de f fait (1-u), et que l'integrale entre u et 1 de g fait (1-u^2), et que sur [0,1], 1-u est inferieur à 1-u^2, on a le bon ordre des integrale...
C'est clair que vu ce que tu dis l'x semble être un bon choix. De toute façon, la plupart des écoles post prépa généralistes proposent des cours d'économie. L'ensae en particulier, tu en as déjà entendu parler? C'est une école sur le concours des mines, pas dans les plus dures à avoir. Là bas c'est ...
Ben voilà pour les calculs. Entre crochet ça fait 0, en utilisant la majoration de ln(x) que j'ai donné ensuite on trouve que c'est un O(ln(n)/n^2) donc que la somme converge. Mais les calculs ne sont pas aisés.. Le (fn) que tu as pris est donné dans l'énoncé? Moi j'aurais plutot fait une ipp avant ...
Salut, je te propose un truc qui a l'air de marcher: Commence par une ipp, en "primitivant" x^n*ln(x) et dérivant ln(1-x). Attention à choisir la bonne primitive qui fasse bien converger les intégrales. Ensuite en utilisant ln(x) inférieur à x-1, on tombe sur le résultat. Mais ça demande un peu de c...