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c'est pas le même a !
y=f '(a)(x-a)+f(a) est l'équation de la tangente en un point x=a mais ça n'est pas ce que te dit ton énoncé. Dans ton énoncé, a est le facteur de x², aucun rapport.

pas de problème.

le minimum de f(x) est pour le x tel que f '(x)=0

Et bien tu calcules

tu en déduis que Vn est une suite géométrique de raison 1/2
tu en déduis Vn en fonction de n
Puis Un = 1/(Vn+1)

tu as dû te tromper, il y a i d'un coté et n de l'autre, c'est pas égal quelque soit n.
Revois ton énoncé.

c'est très élémentaire -3x²+18=0, tu ajoutes 3x² des deux cotés puis tu divises par 3 des deux cotés.
oui c'est comme tu as fais mais il faut garder les valeurs réelles dans le tableau de variation.

oui mais " la tangente à la courbe C" c'est ambiguë. il y a une infinité de tangentes à la courbe C.
Elle est parallèle à l'axe des abscisses si f '(x)=0 (et pas f'(a) !) donc au point x tel que 2ax+5=0 mais pour trouver a, il faut savoir x donc en quel point on prend la tangente.

pour étudier les variations de f, il te suffit d'étudier le signe de f '
tu sais que f'(x)=(x-1)(4x^2+4x+6) donc fais un tableau de signes avec les deux facteurs.

oui f '(x) = 2ax+5, a est une constante.

"la tangente à la courbe C" en quel point ? il manque quelque chose à ton énoncé.

fais simple. -3x²+18=0 donne 3x² = 18 puis x² = 6 et donc garde les valeurs exactes dans le tableau.
sinon oui tes variations sont bonnes.

Après, si f(1) est positif et f(7) négatif c'est que la fonction s'annule entre 1 et 7 (théorème des valeurs intermédiaires)

AB est un segment vertical. Si E est sur le segment AB, il faut que l’abscisse de E soit aussi égale à -1, et il faut que l'ordonnée de E soit comprise entre celle de A et celle de B. C'est tout de même très facile à écrire. Idem pour F, réfléchis un peu aux conditions que doivent respecter les coor...

il est plus facile de directement vérifier si une valeur est solution ou non que de résoudre complètement chaque équation.

x -x > - 3 --> 6-x > 3 --> 1/(6-x) 9/(6-x) 0 donc la suite est croissante.

Après, as-tu oublié des parenthèses dans la définition de Vn ?

Remplace x par les nombres que l'on te donne et regarde s'ils satisfont les équations.
Si oui ils sont solutions, et sinon, non.

(la dernière n'est pas une équation !, il n'y a pas de signe =, tu as dû oublier quelque chose)

Beaucoup d'erreurs. le développement de (2x+1)² = 4x²+4x+1 et pas ce que tu as écris. Delta = 0 et pas 8 (2x+1)² a donc une racine double x = -1/2 rassure toi, il n'y a pas de contradiction et un carré est bien toujours positif (ou nul) et effectivement le dénominateur peut s'annuler pour -1/2 donc ...

on ne te demande pas les solutions, on te demande le nombre de solutions.
Et pour cela, le tableau de variation suffit :

oui c'est bien. positif à l’extérieur des racines qui sont bien -2 et 1.
tu en déduis les variations de la fonction.

Par contre pour le tableau de signes je fais une ligne avec 2x-1 puis une avec 2x+3 puis une avec le produit des deux puis une avec le dénominateur puis une avec le quotient de tout ça ? effectivement la ligne avec le produit des deux n'est pas indispensable. (celle du dénominateur qui est toujours...

oui, positif c'est evident parce que et le sont tous les deux

Croissante , il vaut mieux comparer à 1

donc la suite est croissante

je ne vois pas bien où tu vois une intégrale.

Sinon, oui pour trouver la limite de sin(2x(n+1))/sin(x) , l'écrire
2(n+1) * sin (2x(n+1))/(2x(n+1)) * x/sin(x)

et il ne suffit plus qu'à se rappeler que sin u / u tend vers 1 quand u tend vers 0