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Salut.
Puisque la matrice n'est pas diagonalisable, on peut essayer de la trigonaliser, puis de la décomposer en somme de deux matrices : l'une diagonale et l'autre nilpotente. Le calcul de la puissance sera plus simple car les matrices commutent.

On a : P(n) \ \Leftrightarrow \ \forall \ x = (x_1,\cdots,x_n) \ \in \R_+^n, \ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n x_i \ \leq (\Pi_{i = 1}^n x_i)^{\frac{1}{n}} P(2) \Leftrightarrow \frac{X_1 + X_2}{2} \ \leq \ \sqrt{X_1 X_2} . (les X_1 et X_2 n'ont aucune raison d'être les même...

Désolé j'avais fait ça avec un éditeur Latex classique. Je pensais que comme tout était en code Latex, il suffisait de faire un copier-coller.
Ceci, grâce à ffpower, devrait être plus lisible.

Si je comprends bien, tu as:\\ [/TEX] P(n) \ \Leftrightarrow \ \forall \ x = (x_1,\cdots,x_n) \ \in \R_+^n, \ \dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n x_i \ \leq (\Pi_{i = 1}^n x_i)^{\frac{1}{n}} $ et \\ $ P(2) \Leftrightarrow \dfrac{X_1 + X_2}{2} \ \leq \ \sqrt{X_1 X_2}$. (les $X_1$ et $X_2$ n'ont aucune raison ...