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Sinon, tu peux toujours écrire ça sous forme matricielle : \displaystyle\left(\begin{array}{c} U_{n+1}\\ V_{n+1}\\ W_{n+1} \end{array}\right)=M\left( \begin{array}{c} U_n\\ V_n\\ W_n \end{array}\right) Avec \displaystyle M=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4\\ 3 & -4 ...

Bonjour. Si P a n racines réelles distinctes, son degré est au moins n. Ce n'est pas forcément exactement n, parce que les racines peuvent avoir des multiplicités plus grandes que 1 et il peut y avoir des racines complexes. De même, tu ne peux pas dire combien de racines réelles P' possède en regard...

Bonjour. Quand on dérive deux fois \cos^3(x) , on trouve 6\cos(x)-9\cos^3(x) si je ne me trompe pas. En ajoutant \cos^3(x) , ça donne 6\cos(x)-8\cos^3(x) . Donc ta solution aura un premier terme en \displaystyle\frac{-1}{8}\cos^3(x) et il reste...

Pour le nouvel énoncé, c'est 2282 le grand champion. Il possède 78447 représentations de la forme .
Son voisin 2280 n'est pas mal non plus, avec 78445 représentations.

Et voici la glorieuse réponse au premier problème posé (même si l'énoncé a été modifié depuis...) : C'est y=5000 qui admet le plus grand nombre de représentations de la forme souhaitée. Il y en a très exactement : 3772262 Mais comme je suis sans doute bien plus nul encore que toi en programmation, j...

Déjà, je rectifie, c'est qui est >5000.

Maintenant, je vais programmer ça...

x_1+x_2^2+x_3^3+x^4_4+2x_5+2x_6^2+2x_7^3+2x_8^4=y et y doit être compris entre 500 et 5000. Je suppose que tous les nombres qui interviennent sont des entiers. Déjà, x_8\leq 7 car 2\times7^4>5000 . De même, on voit que x_7\leq 13 , x_4\leq 8 et x_3\leq 17 . Avec ça, il n'y a déjà plus que 30 millia...

Une autre solution :
Si est de degré plus grand que 1, quel que soit complexe, le polynôme a une racine , et . Donc non seulement prend des valeurs non réelles, mais il prend toutes les valeurs non réelles !

Ah oui ! Tout à fait. Je pensais tout simplement aux fonctions concaves...

Merci

Es tu sur que c'est le cas pour les fonctions convexes ?

Bonsoir. Sans vouloir pinailler, je pense que c'est encore faux. On peut construire une fonction strictement croissante dont l'ensemble des discontinuités (bien que dénombrable) est dense et dont l'ensemble des points de continuité est également dense. Par exemple la fonction "dédoublement des ...

Bonsoir. Le problème dans la preuve précédente, c'est que le nombre \beta dont le numérateur est égal à - 2^n+kn^2-1 est nul par hypothèse ! Le terme en \sqrt{k} disparait, et on ne peut rien en déduire sur \sqrt{k} . De toute façons, ce raisonnement n'utilisait pas la forme particulière de l'entier...

Il faut juste inclure dans l'intervalle des limites possibles.

Bonjour El_Gato. Comment ça, elle coïncide presque partout avec un homéomorphisme ? Si c'était le cas, elle coïnciderait en tous ses points de continuité. Imaginons une fonction f strictement croissante qui n'a qu'une discontinuité. Quel est l'homéomorphisme qui coïncide avec elle sauf en un point ?

Essaye plutôt de minorer le terme par pour avec fixé et suffisamment grand.

Bonsoir.

Ca cloche dans les deux dernières lignes. Le raisonnement que tu fais pour en quoi est-il utile pour ton affirmation concernant ?

Bonjour Babulle.

Peux-tu préciser ton raisonnement par l'absurde qui prouve que est un entier ? Je ne vois vraiment pas.

Merci

Bonsoir. Question 1) Si f est continue, c'est un homéomorphisme, et l'image réciproque d'un non-borélien ne peut être borélienne, sans quoi le non-borélien de départ serait l'image réciproque d'un borélien par une application continue (à savoir la réciproque de f). Si f n'est pas continue, il existe...

Ca y est ! Et sans se casser autant la tête :

Dès qu'on a montré que le deuxième facteur premier doit être 7, c'est fini, parce qu'aucune puissance de 2 n'est congrue à -1 modulo 7.

ReBonjour. A moins que je ne passe à côté d'une évidence, l'exercice n'est vraiment pas facile. J'ai montré que n était (presque) sans facteur carré : les nombres premiers p tels que 2^d\equiv 1 [p^2] où d est l'ordre de 2 modulo p , sont extrêmement rares. On n'en connaît que deux : 1093 et 3511 ma...