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Ecrivez la définition de la convergence pour n=0. Le epsilon marche aussi pour n>0, grâce à la décroissance de ||fn-f||, donc on tombe sur une convergence globale ( expression de la définition de la convergence uniforme).

Matt, ma réponse était un peu trop brève, et je m'excuse si je n'ai pas été clair, mais je n'ai pas dit que |cos(t)|= cos(t) ou que |cos(t/2)|=cos(t/2), juste que le signe était incorrect à la fin de la dernière ligne de la page manuscrite. Si tu as une égalité, tu peux toujours appliquer la même fo...

L'enseignement des maths c'est pas mal... Par contre pour être ingé en France, on ne regarde que ton diplôme et le domaine de ton 1er boulot conditionne souvent toute ta carrière, car les RH ne connaissent pas le métier. Si tu n'aimes pas ce que tu fais et que tu n'est pas au minimum à Centrale Pari...

Le théorème des résidus facilite aussi la décomposition en éléments simples dans le domaine des complexes. Si vous ne le connaissez pas, mettez au même dénominateur 1/(x-i) + 1/(x+i) et comparez avec la formule initiale.

Le Pi ne peut pas être le symbole produit, car 1/(1-1/i) = i/(i-1). En faisant le produit, on voit que tous les facteurs intermédiaires se simplifient et il ne reste que le numérateur du dernier facteur sur le dénominateur du 1er facteur, ce qui ne correspond visiblement pas au résultat de la somme.

Vu la décroissance des termes, cherche du côté du développement en série de log(1-x). Le i au 2e terme montre que x est un nombre complexe, pas un réel. Cela pourrait expliquer l'apparition du Pi (le fameux 2iPi...). Si tu n'as pas encore entendu parler des nombres complexes ou des séries, laisse to...

L'équation est non linéaire. La réponse de Willy ne marche pas. Le 2e terme ne s'annule qu'en un point : en général on peut diviser, il faut juste faire attention à ce point. Divise tout par le second terme. Tu as alors une équation de la forme f'f=1. Intégre les 2 côtés, et tu te ramènes à une inté...

C'est un résultat très classique que l'on trouve partout : cherchez "intégrale de Wallis" avec votre navigateur préféré, et vous aurez tous les détails d'intégration

Quel que soit x dans R, cos(x+2pi)=cos(x). En prenant la valeur absolue de chaque côté, on trouve la même périodicité. Attention: la dernière ligne que vous avez écrite est fausse en général : cos(-x)=cos(x).