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Avec des vecteurs:
(4 OA + 2 OB + 5 OC)/11 = OG (calcul de moyenne)
En multipliant les deux côtés par 11:
4 (OG+GA) + 2 (OG+GB) + 5 (OG+GC) = 11 OG
en retranchant 11 OG des 2 côtés, on obtient donc 4 GA + 2 GB + 5 GC = 0.

Pour la vitesse moyenne, il suffit d'avoir la distance TOTALE et le temps TOTAL , puis de les diviser: dTot = 1 km + 1 km Pour chacune des deux parties du parcours, la vitesse est constante donc v = distance/temps. On obtient donc temps=distance/v : TTot = (1 km / 6 km/h) + (1 km / 4 km/h) = 4/24 + ...

Juste quelques précisions, pour la rigueur mathématique. Oui, c'est juste une intégration en fonction du temps: accélération->vitesse->position. Attention x n'est pas exactement une distance, c'est une abscisse (une position sur l'axe, pas une mesure relative entre 2 positions). Ce sont les conditio...

Dans sa réponse, F est bien de dimension 3. C'est l'orthogonal de F qui est de dimension 2 (le reste des dimensions).
Cela reste simple : 3 vecteurs indépendants définissent ton sous espace F de dimension 3, et 2 autres définissent l'espace orthogonal.

Si on vise le centre, il faut réduire le carré, pour augmenter l'erreur (l'aléatoire) ... Il faut aussi penser que les tirages aléatoires ne sont pas toujours bien répartis. C'est typiquement le cas ou le tirage est faussé, comme pour l'aimant avec une pièce en acier, ou pour un dé pipé (un peu trop...

Pour les domaines de définition demandés, cela revient à étudier les signes de polynômes de degré deux. Factorise donc le polynôme en cherchant à le mettre sous la forme a (X² + 2b/a X+...), ce qui est le début d'un polynôme a(X+b/a)² - P(x)², qui se factorise par l'identité u²-v²=(u-v)(u+v). Il suf...

Pour les dérivées , il faut en général juste connaître les formules des dérivées des fonctions de base, ainsi que les règles de composition suivantes : ⋅ f(x) + g(x) ---> f'(x) + g'(x) ⋅ f(x)g(x) ---> f'(x)g(x) + g'(x)f(x) ⋅ a f(x) ---> a f'(x) ; cas particulier du cas...

@lulu: c'est exactement ce que je voulais dire. Je suis comme vous, sauf que je suis paresseux (d'une certaine manière), donc si ça va plus vite avec un ordinateur, voire une calculatrice, je n'utilise pas de papier. Etre efficace ou paresseux, ça se rejoint :dodo: :zen:

@Moulou: cos(x+pi)=-cos(pi). De même, sin(x+pi)=-sin(x). On a donc aussi tan(x+pi)=sin(x+pi)/cos(x+pi)=tan(x), quand elle est définie. Regarde l'interprétation géométrique pour t'en convaincre. Si tu connais la formule du cosinus de la somme, cela le montre aussi: applique cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(...

Au final, le nombre recherché est bien un nombre sans unité (rapport de surfaces), mais le nombre considéré était bien une aire. Pour les détails de lancement, cela suppose que tu les lances de manière complètement arbitraire : au bout d'un grand nombre de coups, elles sont à peu près uniformément r...

Chaque valeur a une dimension : quand tu as une aire, la dimension sont des cm² (ou cm²). Pour une aire, ce sont des cm (ou m...). Quand tu multiplies des valeurs, leurs unités sont "multipliées" : quand tu multiplies des distances par des distances, tu obtiens des aires. De même quand tu...

Oui, au dénominateur, tu n'as pas r, mais une fonction de r, donc il faut tenir compte de sa dérivée.
En dérivant ln(f(r)), on obtient f'(r)/f(r), pas 1/f(r).

Quand on veut intégrer quelque chose sur f(r), il ne faut donc pas oublier cette dérivée : le 2r provient de la dérivée de r².

Exactement. Juste une petite précision : il faut toujours pousser l'élève à indiquer dans quel ensemble il travaille : "je cherche une solution entière/décimale/réelle/complexe...". La plupart du temps, cela a une influence sur le résultat (on peut trouver un plus petit nombre pour les entiers posit...

Je doute que tu trouves une solution analytique, mais ça n'empêche pas de raisonner sur les valeurs des racines. Ta fonction est paire, donc il te suffit de l'étudier sur R+. Tu peux raisonner par rapport à des valeurs a,b,c définies par des définitions du type "l'unique racine de f(x) sur l'in...

Juste une petite remarque: c'est visiblement un sujet sur les équations du 2nd degré. Pourquoi personne n'a pensé au discriminant? C'est le coeur du sujet, et le 4ac partout est frappant. Ce sont des discriminants (b²-4ac) qui donnent les racines doubles de 3 équations du second degré. Chacune peut ...

Avec la fonction f(x)=2cos(x)-1/2sin(x) - 1 la périodicité est de 2pi, pas de 1. Quand tu vois des fonctions trigo, regarde ce qu'il y a sous les cos ou sin. Quand tu vois du cos(ax), tu as en général une périodicité de 2 pi/a. Idem pour le sinus. Si tu as du ax et bx à la fois, regarde si a et b on...

La racine cubique est une fonction strictement croissante. Le signe de la racine cubique est le même que ce qu'il y a en-dessous. Regarde donc ce qui se passe en x=-1/3. Pour le numérateur, le point d'annulation est en 1+3x=2^3, soit x=7/3. Le reste est aussi trivial, mais le plus gros est fait : je...

Le déterminant de la matrice formée des vecteurs (1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), v1, v2 et v3 vaut 2 (immédiat grâce à tous les 0). Il est non nul donc on a trouvé une base de ton ev de dimension 5. En retirant les 2 vecteurs qu'on a ajoutés, il te reste forcément un sous-ev de dimension 5-2=3 (généré par...

Intuitivement, les 2 intégrales se ressemblaient et on voulait que le t^n se change en (1+t/n)^n, c'est-à-dire que t se change 1+t/n. C'est exactement ce que font les 2 changements de variables proposés. J'ai utilisé le nom de variable z pour la 2e intégrale au lieu de t, pour éviter la confusion av...

On pouvait réutiliser le 1er résultat pour éviter un 2e raisonnement par récurrence : le changement de variable t=n(y+1) donne n!=intégrale(-1 à +inf)( (n(y+1))^n * e^-(n(y+1) )* n * dy. En multipliant gauche et droite par (e/n)^n, on obtient à droite intégrale(-1 à +inf) ( (ny)^n * e^-(ny) * ndy ),...