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ok je vois l'idée merci beaucoup pour ton aide !

Je partirai de la définition du second lien à mon avis car je ne peut décemment pas partir des axiomes de peano pour démontrer le 5ème axiomes de peano.

Apres si je suis ton raisonnement il suffirait d'ajouter :
Tout entier naturel n a un unique successeur noté n+1

Je ne vois pas bien ou tu veux en venir enfaite ..
En effet pour moi le but de ce DM est de démontrer le 5eme axiome de péano à l'origine de la récurrence et non pas définir l'ensemble N.

Exactement =)

Pour démontrer que n-1 est un entier A\ ne contient pas 0 et contient n on a donc tous les élément de A et A\ qui appartiennent a N d'ou n et n-1 appartiennent à N

moi je pensais que si n est un entier naturel pas égal à 0 alors il possède un successeur et un prédécesseur et si n est le plus petit élément de A\ alors le prédécesseur de n est contenu dans A or le prédécesseur de n est logiquement n-1

A\ doit logiquement être égal à ensemble vide non ?

L'énoncé complet :

Soit A une partie non vide de N contenant 0.

1. A quelle condition sur A\ a-t-on A=N ?

2.Supposons cela non vérifié
Soit n le plus petit élément de A\
Démontrer n-1 appartient à A

3. En déduire A=N

Tout va bien jusqu'à la 3

Pour tout vous dire ma dernière leçon définissant N date de la seconde et ma prof de l'époque définissait bien N comme "l'ensemble des entiers naturels" sans s'attarder plus que ça

désolé mais je ne comprend pas ... pourrais-tu développer stp ?

Ce sont les nombres entiers positifs et 0

N est ordonné. Ses membres sont donc comparables

N est l'ensemble des entiers naturels.

ok enfaite je vois mais prouver que A contenu dans N ça va. Le problème c'est prouver N contenu dans A

Que signifie corollaire ? Et que signifie "montrer la prop par double inclusion " ?
J'ai oublier de préciser que ce DM a été proposer en spé pour introduire la récurrence

Intitulé du DM " on se propose de démontrer l'axiome suivant : La seule partie de N contenant 0 et chacun de ses successeur c'est N "

Il s'agit ici de démontrer le 5eme axiome de peano. Et je bloque...