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Bonjour, avec p premier et n>=2, Fp^n est de caractéristique p et contient Fp comme sous corps. la somme des inverses des entiers k modulo p^n pour k compris entre 1 et p-1 est bien nulle mais cependant la somme alternée des inverses des entiers k modulo p^n pour k compris entre 1 et partie entière ...

Pour conclure , jandri sur un autre forum a trouvé une référence: c'est l'objet du problème A5 de la compétition putnam 1996
https://prase.cz/kalva/putnam/psoln/psol965.html
la solution proposée est très élégante et courte , entièrement dans le corps Z/pZ

Merci beaucoup, l'idée de détendre les sommes des ak aux sommes des a3k n'est pas évidente!
je suis arrivé aux mêmes calculs avec les mêmes outils grâce à tes indications, j'avoue ne pas avoir traité le cas p congru à -1 modulo 6 . Un résultat remarquable tout de même, et peu connu

suite de mon message
effectivement, on a de plus, semble t'il , A(k) congru à 3A(3k) modulo p pour k compris entre 1 et d ce qui permet de gérer la première somme.
Il ne reste plus qu'a justifier ces deux congruences et calculer la somme des A(3k-1) et des A(3k) , super!

Merci Ben314 , j'essaye de chercher dans cette direction, cela me semble la bonne piste. Un test numérique me donne plutôt A(k+d) congru à -3A(3k-1) modulo p lorsque p est congru à 1 modulo 6 et 1<=k<=d, mais je n'ai pas encore prouvé cela. Cependant lorsque l'on calculera la somme des A(k) pour k a...

Bonjour, Je bloque sur un exercice d'arithmétique qui semble accessible au niveau prépa ( oral 2021) et qui peut s'énoncer ainsi Soit p>=5 un nombre premier, montrer que la somme des coefficients binomiaux k parmi p , pour k compris entre 1 et partie entière de 2p/3, est divisible par p^2 Une formul...