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Bonsoir, comme card(f(k), k \in K)\le card(K) (puisqu'une fonction associe au plus une image), c'est réglé! Comme je l'ai déjà écrit dans un autre post, je ne pense pas que cette méthode soit la bonne. La raison est que la proposition que l'on veut démontrer sert à définir p...

mes inégalités sont correcte d'après ma feuille d'exo c'est n<=m Alors tu as inversé le sens des questions où ton prof s'est trompé (cela arrive avec le copier-coller). L'intuition à avoir est qu'il existe une injection de A dans B si A a "moins d'éléments" que B. A l'inverse il existe un...

fahr451 a écrit:ben pourtant si on le savait déjà on aurait plus vite fini cf post précédent

Oui mais on ne peut pas le savoir car, cela sert à définir la notion de "nombre d'éléments".

Maintenant pour le a. Un sens est évident, en effet si m est inférieur à n il y a une injection de Im dans In. Pour la réciproque il faut faire une récurrence. Le problème est qu'il y a deux entiers. Alors récurrence sur n ou m ? On pose H(m) l'assertion "pour tout entier n, s'il existe une injectio...

La partie c permet de définir le cardinal d'un ensembel fini. On ne suppose donc pas que l'on sait que cardinal de In est n.

Quelques remarques :

1 - je pense que tes inégalités sont à l'envers
2 - cela n'a pas de rapport avec la topologie

yos a écrit:Bon on est en phase. Y compris dans les notations.

OK. A part deux trois fautes de frappes et les inégalités sont dans le mauvais sens car on travaille avec des nombres négatifs.

Bon j'ai trouvé. On suppose par l'absurde que l'on ne peut pas trouver des éléments de E = N + aZ aussi proche que l'on veut de 0^+ . Par densité on construit une suite (u) strictement décroissante, tendant vers 0 d'éléments de G = Z+aZ. Par hypothèses, ce sont (à partir d'un certain rang) des éléme...

Sinon j'ai une autre idée, plus simple, sachant qu'on a déjà prouvé que Z+aZ est dense dans R. Je pose G=Z+aZ E=N+aZ. Soit \epsilon>0 . On prend deux éléments de G appartenant à ]0,\epsilon[ : x+ay et x'+ay' . On les soustrait dans le bon sens pour tomber dans E et on sera encore dans \epsi...

Pour ton égalité, effectivement, l'égalité est vraie pour tout x . il suffit de développer \sin \left(x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) Tu dois te servir de ce résultat évidemment pour la suite ! Ce n'est évidemment pas vrai pour tout x ! Il suffit de ...

yos a écrit:
Pour ceci, tu peux regarder les réels a-E(a), 2a-E(2a),...na-E(na). Ils sont tous dans [0,1], tous distincts (pourquoi?), et donc avec le principe des tiroirs...

Je ne vois pas trop comment conclure avec le principe des tiroirs....

Montrer que H = Z + \alpha.Z est dense est très classique. On peut procéder comme tu le dis en disant que H est un sous groupe additif de R. Ensuite, on regarde le sup de H \cap R_+ et on montre que c'est 0. On en déduit que H est dense. Il faut peut-être adapter un peu. Dans ta version, H = N + \al...

La construction de yos semble presque marcher. Mais je ne pense pas que l'on puisse assurer ainsi que . Il doit falloir considérer le cas où et l'ajouter à la main comme pour .

En tout cas bravo pour l'avoir rédigé.

Oui, la solution est de construire la bijection (b_n) dans la récurrence. Précisément, soit i compris entre 1 et n tel que a_i < a_{n+1} < a_{i+1} il faut prendre b_{n+1} compris entre f(a_i) et f(a_{i+1}) . Mais je ne suis pas sur que cela fonctionne réellement. Il faudrait ...

A creuser mais prouver l'inductivité avec Y,Y' et Z,Z' dénombrables me semble aussi dur que la question de départ. On peut peut-être faire ceci avec ton idée : soit n\to a_n une bijection de \mathbb N sur A et n\to b_n une bijection de \mathbb N sur B. Pour n fixé, on prend A_n=\{a_0,..., a_n\},\, ...

En fait en y réfléchissant un peu, je ne suis pas sur que le fait d'avoir un élément maximal permette de conclure (à ma décharge, il n'est pas simple de se concentrer en tondant sa pelouse :ptdr: )

Je crois pas : essaie avec deux éléments Y, Y' dénombrables (infinis) et Z, Z'. Tu as une application croissante f :Y\to Z et une autre g : Y' \to Z' . Comment définis-tu l'application de Y\cup Y' dans Z\cup Z' pour que la croissance soit préservée? Le truc est que ma partie est sup...

Cela ne me semble pas si dur que cela de montrer que c'est inductif. Soit une partie totalement ordonnée. Alors on peut définir l'élément .
Cette application est bijective et croissante.

Je dirais (mais je ne suis pas sur) que l'on doit pouvoir utiliser Zorn. En effet l'ensemble \{(Y,Z)\in P(A)\times P(B)~|~\exists f : Y \to Z \text{bijection croissante}\} est inductif (c'est là que je n'ai pas bien vérifié). Dès lors il admet un élément maximal. Cet élément ...

Il faut faire attention. Dans l'étude des extensions de corps on regarde les corps commutatifs. De ce fait comme C est algébriquement clos, il n'y a pas d'extension finie de C. Mais il y a des extensions infinies (C(X) par exemple). Pour ce qui est de H le corps des quaternions. Je crois me souvenir...

Sur Q il y a la norme infinie qui est la norme "classique". Mais si p est un nombre premier on peut aussi définir la norme p-adique (et pour le coup on a alors toutes les normes). Pour cela on définit d'abord la valuation p-adique. Pour un entier c'est simple, c'est l'exposant de p dans la...