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Il existe une forme canonique sans division (donc utilisable dans les anneaux quelconques) pour le polynôme du second degré

4a(ax²+bx+c) = (2ax+b)² - delta
(delta = b²-4ac)

Grandes implifications !

Piège : à l'ordre 1 veut dire à la précision 1/n, non à la précision 1/(racine de n)

Soit x² + y² = 7z². Une solution est x=y=z=0. Il est élémentaire de montrer qu'hors ce cas, les trois nombres x, y et z sont non nuls. D'après la question 1°, 7 divise x et y. Donc 49 divise le premier membre. Donc 49 divise le second membre. Donc 7 divise z² Mais 7 est premier Donc 7 divise z On ob...

Si ξ = 0 (valeur refusée) on obtient l'inégalité large au premier membre (tautologie) . Donc ...

Point 1
La valeur absolue d'un nombre est sa distance à 0
Un point a est à distance nulle de 0 si et seulement si il est égal à 0.

Bravo

La
question 2 est fondée sur la descente infinie de Fermat.
Si une solution est
x² + y² = 7z²
Alors, nécessairement, il y a une autre solution qui est
x'² + y'² = 7z'²
avec (x', y', z') = (x/7, y/7, z/7)
On ne peut pas diviser éternellement par 7 des entiers.

- 3 = 4

1° Modulo 7 les carrés sont 0, 1, 2 et 4
On a vite fait de voir que parmi les16 possibilités de (a²,b²) seul (0,0) donne 0 pour la somme.

Vous avez raison. Oubliez ce que j'ai dit avec légèreté

Tout groupe est l'union de ses sous-groupes cycliques (les singletons formant une partition, les groupes cycliques forment une exhaustion). Soit un groupe G infini ayant un nombre fini de sous-groupes. Il n'a, en particulier, qu'un nombre fini de sous-groupes cycliques. Donc l'un au moins de ces sou...

Tout ouvert de X inclus dans A est inclus dans l'intérieur de A .

la limite L est un point fixe de la fonction => la suite converge vers L

Toute famille de vecteur est toujours génératrice ... de l'espace qu'elle engendre. Une famille est-elle génératrice ? Oui, dans tous les cas. La question est : génératrice de quoi ? Donc une démonstration tient compte, au départ, de l'espace éventuellement engendré. Ce n'est pas comme libre qui est...

Il y a des groupes infinis qui n'ont que des éléments d'ordre fini. (Groupes de torsion)

Tout vecteur du sev généré est combinaison linéaire finie de la partie génératrice.
Pas de méthode générale. Voir le cas particulier.

f(x) est la fonction homographique (3x+2)/(x+1)

Is(A) est un ouvert de A (union des singletons ouverts de A).
L'égalité s'écrit donc
Is(A) = A inter Is(X)
En distinguant les points de Is(X) qui appartiennent ou non à A, le résultat est évident.

Dans l'égalité (E), p et q sont évidemment à prendre premiers entre eux.

n/(n+2) = p²/q² (égalité E) <=> n(q² - p²) = 2p² Donc -np² = 2p² (mod. q²) p² est premier avec q² donc simplifiable et donc n=-2 (mod. q²) Autrement dit q² divise n+2. Donc p² divise n (à cause de l'égalité (E)) Donc il existe deux entiers k et k' tels que kp² = n k'q² = n+2 (E) => (k = k') (Le quot...