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J'ai oublié de préciser : la fonction f est également bornée!

Bonjour, je cherche à prouver que pour une fonction f continue et $\lambda>0 on a : $\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k \geq 0}e^{-\lambda n}\frac{(\lambda n)^k}{k!}f(\frac{k}{n})=f(\lambda)$ . La seule piste qui m'est venue est dire que cette expression est égale à $\lim\lim...