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ce n'est pas une suite géométrique justement. C'est i qui varie, pas la puissance (ce serait une suite géométrique si tu avais 2^i).
la somme des i² c'est une somme classique, tu prouve le résultat par récurrence.

la part d'héritage est proportionelle a l'age, donc si tu note x la part dhéritage du premier, y celle du second et z celle du troisieme, tu obtiens que x/15 = y/20 = z/30 de plus la somme fait 13000 : x+y+z = 13000 donc x + 20x/15 + 30x/15 = 13000 (tu exprime y et z en fonction de x avec la premier...

commence par remarquer que puisque Un appartient a [0,1], 1+Un+Un^2 est superieur (ou égal) a 1.
Ensuite ça devrait etre clair que U_n+1 appartient a [0,1] non ?

l'important c'est de ne pas avoir peur de son DM (appellez moi Maitre Yoda)

on peut déja commencer par remarquer que
Un= (1/(1+ (1+ rac n)/(1+ln n) ) ) x^n et que (1+ rac n)/(1+ln n) tend vers l'infini quand n tend vers 0 non ? ce qui tend a majorer 1/(1+ (1+ rac n)/(1+ln n) ) par 1/3 ou quelque chose comme ça.