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Soit L un ensemble quelconque et R \subset L\times L une relation sur L . Soit F_R:P(L) \rightarrow P(L) une fonction (sur les parties de L ) définie comme : F_R(X) = \{ x\in L | \forall y\in L. (x\, R \, y) \Rightarrow y \in L\} Si R est quelconque F_R n'est pas forc...

\rightarrow_1 et \rightarrow_2 sont indépendants si \forall e e_1 e_2 (((e \, \rightarrow_1 \, e_1) \wedge (e \, \rightarrow_2\, e_2) \Rightarrow \exists e' ((e_1 \, \rightarrow_2 \, e' )\wedge (e_2 \, \rightarrow_1\, e'))) alors \righ...

J'ai trouvé un contre exemple finalement assez simple. Soit E=\mathbb N et f telle que : - f(\{0\}) = {\mathbb N} \setminus \{1\} - f(\{1\}) = {\mathbb N} \setminus \{0\} - f(\{i\}) = \{i\} si i\not \in \{0;1\} et on prend alors f(\{0\}) \cap f(\{1\})

Merci les gas, j'avais peur que la réponse soit trivialle mais apparement ce n'est pas tout à fait le cas. Par contre j'ai comis un impair ( désolé ), dans les hypothèses c'est bien l'image d'une union quelconque qui est l'union des images et pas seulement l'union finie. Sur ce coup yos tu avais don...

Là je ne te suis plus, j'ai dû louper une marche. Si on reprend l'exemple précédent f^{-1}(f(\{n\})) = \{ e \in P(n.{\mathbb N}) \text{ tq } n \in e\} (c.à.d. l'ensemble des parties des multiples de n qui contiennent n ) d'où si n_1 \not = n_2 : - f^{-1}\left(f\left(\...

j'avais pensé à cette eventualité mais e_1 \cap e_2 ne marche pas pour e_3 Si on prend E = \mathbb{N}^* et si f(e) est l'ensemble des nombres divisibles par un element de e (càd f(e)=\{k \in \mathbb{N}^* tq l \in e, \; l|k \} ) alors e_3 se calcule en fonction des ppcm entre e_1 et e...

Une fonction des parties de E dans les parties de E

Soit E un ensemble a priori quelconque. Soit f : P(E) \rightarrow P(E) une fonction totale telle que : - e \subset f(e) - f(f(e)) = f(e) - f\left(\bigcup_{i \in I} e_i\right) = \bigcup_{i \in I} f\left(e_i\right) (*) - f(\emptyset&#...