Exercice dans la limite et continuité

[Ayoub Houbban]

F: IR->IR continue.
On suppose que lim (x;)+;)) f(x)=lim(x;)-;))f(x)=+;)
1) Montrer qu'il existe B>0 tel que (Pour tout x qui N'APPARTIENT PAS à) [-B,B], f(x)>=f(0)
2) Montrer que f atteind son minimum

[Sake]

F: IR->IR continue.
On suppose que lim (x;)+;)) f(x)=lim(x;)-;))f(x)=+;)
1) Montrer qu'il existe B>0 tel que (Pour tout x qui N'APPARTIENT PAS à) [-B,B], f(x)>=f(0)
2) Montrer que f atteind son minimum

Salut Ayoub,

1) Travaillons sur les intervalles R+ et R-. Par continuité et symétrie des cas, nous pourrons recoller les deux études.
Puisque lim(x;)0+) f(x) (par continuité de f sur R), la valeur de f en 0 existe et est finie. Alors il existe un réel A strictement positif tel que pour tout x supérieur à A, f(x) >= f(0).
Sur R-, on trouve A' strictement négatif tel que pour tout x inférieur à A', f(x) >= f(0). En prenant max(A,|A'|) = B, on a la propriété vérifiée en dehors de [-B,B].