Equa. diff. linéaire du 2nd ordre avec coef. constant et 2nd

[Shalafi]

Bonjour !

Je travaille en ce moment sur les équa. diff et je rencontre des soucis pour deux méthodes. Je possède l'énoncé et le résultat sans explication et je n'ai pas la possibilité de demander des explication à ma prof avant ma prochaine colle et le prochain DS. Je n'arrive pas à conserver l'écriture word ici, si quelqu'un connait un programme qui permet de le faire je modifierais les équation, pour le moment je les note comme ceci :

Alors pour la première :
(E):y"-4y'+4y=xch(2x)

Je dois trouver une solution de la forme :
y=(1/12x^3e^2x + 1/32e^(-2x) + 1/64e^(-2x)) + (;)x+;))e^2x

Je trouve facilement la solution homogène (qui est : (;)x+;))e^2x ), je note ensuite ch(2x)= (e^2x+e^(-2x))/2

En utilisant le théorème de superposition, je trouve :
(E1) :y"-4y'+4y=x e^2x/2
(E2) y3-4y^'+4y=x e^(-2x)/2

Mais quand je résous à l'aide de la méthode de Lagrange, je trouve à chaque fois des constantes nulles.
Quelqu'un pourrait m'éclairer ?

Concernant la deuxième équation :


Je dois trouver une solution de la forme :


Je trouve de nouveau l'equation homogène et la solution de (E1):y"+y'+y=x-2 et quand je résouds la deuxième partie du second membre, je tombe sur quelque chose de très éloigné...
J'écris le second membre sous la forme y=ze^(-x/2)
Avec z = A(cos;)((;)(3)/3)*x)- sin;)((;)(3)/3)*x)
Et je trouve A = (3+3;)(3))/2 au lieu de 12;)(3)

Voila, c'est long mais j'ai essayé d'être le plus clair possible. Si vous avez des méthodes différentes à proposer ou que vous voyez des erreurs... Je compte sur vous merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Concernant Word (beurk..) je crois pas que tu puisse transférer, ou alors sous forme d'images. Les formules peuvent être codées en MimeTeX qui est plus ou moins la même chose que LaTeX.
Sinon, je sais pas trop ce qu'est le "théorème de superposition" ni la " méthode de Lagrange", mais je sais que, face à une équation du style :

(E1) :y"-4y'+4y=x e^2x/2

Tu as deux méthode :

1) Le "test réfléchi" (systématiquement le plus rapide, mais des fois on ne sait pas quoi essayer...).
Tu veut du x.e^2x/2 à l'arrivé, ben y'a qu'à essayer avec une fonction y à peu prés de cette forme et qui, quand on la dérive redonne une fonction de la même forme.
Essayer y=ax.e^2x ne vas pas : la dérivée n'est pas de la même forme.
Essayer y=(ax+b)e^2x n'est pas mal, mais ici, ça ne marche surement pas vu que c'est la solution de l'équation homogène associée !!!
Donc, visons "gros" et essayons directement y=P(x).e^2x où P est un polynôme à determiner.
Aprés une ligne, tu doit trouver qu'un certain polynôme de degrés trois fourni une solution.

2) La variation de la constante ( à n'utiliser que quand on est sec avec la méthode 1 ou à la rigueur, pour voir si on sait faire...):
On considère que y=(ax+b)e^2x où a et b sont des fonctions de x et on injecte ça dans l'équation. Tel qu'el, c'est même pas la peine d'essayer, ça risque pas d'aboutir vu qu'on a deux (fonctions) inconnues a et b alors qu'on a une seule équation.
Arrivé à ce point, on essaye de se rappeller la théorie : les équation d'ordre deux, au fond, ça existe pas : tout est d'ordre 1 à condition de le voir matriciellement.
Par exemple, y"-4y'+4y=x e^2x/2, c'est Y'=A.Y+B où Y=(y , y') (en colonne) A=((0 , 1) (-4 , 4)) (matrice) et B=(0 , xe^2x/2) (en colonne).
La solution générale est alors Y=((xe^2x , e^2x) ((2x+1)e^2x , 2e^2x).U où U=(a , b) est un vecteur colonne quelconque fixé.
Dans ce contexte, évidement, la méthode de la variation de la constante dit qu'il faut prendre U=(a b) un vecteur qui dépend de x mais on voit dans ce cas que cela conduit à DEUX équations :
y=(ax+b)e^2x ET y'=(2ax+2b+a)e^2x
(en résumé, y' est le même que si a et b avait été des constantes).
Si tu dérive la première formule et que tu compare avec la deuxième, tu trouvera une condition sur a' et b' puis, si tu injecte les deux formules dans l'équation de départ, tu trouvera une deuxième équation sur a' et b'.
Soit un total de DEUX équations et DEUX inconnues (a' et b')

[Shalafi]

J'ai un niveau en maths très bas : je commence à peine la prépa après un BTS (prépa ATS), donc je ne sais que très peu de choses sur les matrices (en fait, presque rien).
La méthode de Lagrange, c'est la méthode de variation de la constante.
Le théorème de superposition dit que si E : y"+y'+y = a + b (a et b étant des fonction), alors la solution générale c'est la solution de l'équation homogène, plus la solution particulière de E' : y"+y'+y=a, plus la solution particulière de E" : y"+y'+y = b.

Bref, tout ça pour dire que les matrices je ne connais pas...

Par contre je retombe bien sur mes pied avec ta première méthode. Je vais reprend mon calcul en entier parce que je retrouve pas exactement la solution, mais je m'en approche.

Merci pour ton aide !

EDIT : J'ai édité le premier post pour plus de visibilité sur les équation de la deuxième équa. diff.