Aide en Algèbre

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 16:19

Hello les amis
Je me casse la tête depuis un bon moment avec un exo et je cherche donc de l'aide !

Alors l'exo est :

Soit A une matrice A=BC ou B est une matrice inversible. Montrer que toute suite d'operation sur les lignes qui transforme B en I transforne également A en C.

En faite j'ai compris l'idée et ça me parait plutôt logique mais je n'arrive pas à le montrer a part avec des exemples particuliers...
Merci !

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 16:26

maths-in a écrit:Hello les amis
Je me casse la tête depuis un bon moment avec un exo et je cherche donc de l'aide !

Alors l'exo est :

Soit A une matrice A=BC ou B est une matrice inversible. Montrer que toute suite d'operation sur les lignes qui transforme B en I transforne également A en C.

En faite j'ai compris l'idée et ça me parait plutôt logique mais je n'arrive pas à le montrer a part avec des exemples particuliers...
Merci !

Salut,

B est inversible, soit B^{-1} son inverse.
Alors en multipliant à gauche de B (ce qui revient à effectuer des opérations sur les lignes de B) par B^(-1) qui est au final la "matrice synthèse" des transformations élémentaires apportées sur les lignes de B, on obtiens B^(-1)*A=In*C=C.
CQFD.

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 16:29

Ok merci pour ta réponse SUPER rapide !

Mais j'ai juste une autre petite question multiplier la matrice A fois la matrice B
revient a multiplier ligne de A * col (B) ?
J'ai vu dans un bouquin que AB = col(A)lign(B)+col(A2)lign(B2)...
Et je me suis un peu perdu

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 16:41

maths-in a écrit:Ok merci pour ta réponse SUPER rapide !

Mais j'ai juste une autre petite question multiplier la matrice A fois la matrice B
revient a multiplier ligne de A * col (B) ?
J'ai vu dans un bouquin que AB = col(A)lign(B)+col(A2)lign(B2)...
Et je me suis un peu perdu

En fait, si tu vois B comme la concaténation de matrices colonnes B1, B2, ..., Bn, la matrice A*B est vue comme la concaténation des matrices colonnes A*B1, A*B2, ..., A*Bn.
Par contre, si tu vois A comme la concaténation de n matrices lignes A1, ..., An, alors là multiplier à droite par B va te donner la concaténation des matrices ligne A1*B, etc., An*B.

PS : Ce que tu me donnes c'est la simple "formule" de multiplication de deux matrices entre elles. Tu remarqueras à chaque fois qu'en multipliant deux matrices de formats compatibles, multiplier la i-ème ligne de l'une par la j-ème colonne de l'autre te donnera le i,j-ème coefficient de la matrice produit, c'est-à-dire la matrice de format 1,1 obtenue par multiplication de cette ligne et de cette colonne.

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 16:45

Ok donc en faite AB
ca revient à faire des opérations sur les lignes de A et sur les colonnes de B ?

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 16:51

maths-in a écrit:Ok donc en faite AB
ca revient à faire des opérations sur les lignes de A et sur les colonnes de B ?

Si tu appelles ça des opérations, ben en quelque sorte. Mais je préfère que tu voies la multiplication de deux matrices quelconques comme une simple multiplication.
Sache qu'une opération élémentaire faite sur les lignes d'une matrice, c'est multiplier à gauche de cette matrice par la matrice élémentaire correspondant à la transformation que tu veux effectuer. Si tu veux faire des opérations sur les colonnes de cette matrice, il va falloir multiplier à droite par une matrice élémentaire. Enchainer des opérations élémentaires va te donner un produit de matrices à gauche et/ou à droite de la matrice concernée, opérations qui peuvent souvent se résumer en deux matrices à gauche et/ou à droite de la matrice concernée, produits de toutes les matrices élémentaires.

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 16:54

Ah ok c'est beaucoup plus clair

En faite une matrice élémentaire c'est la matrice identité qu 'on a modifié ??

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 16:59

maths-in a écrit:Ah ok c'est beaucoup plus clair

En faite une matrice élémentaire c'est la matrice identité qu 'on a modifié ??

Exactement !
En fait ça s'explique assez facilement. On cherche à ne modifier qu'une seule ligne ou qu'une seule colonne (parfois plus d'un seul coup...). Si tu te confères à ce que j'ai dit à mon second message, modifier la matrice identité en des lieux particuliers va donner après multiplication à gauche ou à droite de la matrice qu'on veut transformer la même matrice dont une ou quelques colonnes/lignes auront été transformées. C'est tout l'intérêt d'avoir créé ces matrices élémentaires !

Il en existe de trois formes : matrices de permutation (permettent d'échanger deux lignes ou deux colonnes selon qu'on multiplie à gauche ou à droite), de dilatation (multiplient une ligne ou une colonne par un scalaire) et de transvection (prennent une ligne ou une colonne pour lui soumettre une combinaison linéaire des autres lignes ou colonnes).

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 17:19

Ok merci !!
Et dans mon exo B^-1 est une matrice élementaire ??

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 17:24

maths-in a écrit:Ok merci !!
Et dans mon exo B^-1 est une matrice élementaire ??

C'est peut-être une matrice élémentaire, ou bien plus généralement le produit de matrices élémentaires.
Je t'invite d'ailleurs à le voir d'un autre oeil (tout est lié !) :
Quand on multiplie une matrice à gauche ou à droite par une matrice élémentaire, il est en général convenu d'adopter un algorithme particulier. C'est la méthode du pivot de Gauss. Et si tu regardes de plus près comment fonctionne cet algorithme, tu verras qu'il s'agit d'une succession de multiplications par des matrices élémentaires (succession d'opérations élémentaires sur la matrice qu'on transforme) pour la transformer en la matrice identité ! L'autre matrice qu'on obtient alors est l'inverse de la matrice de départ.

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 17:28

Sourire_banane a écrit:C'est peut-être une matrice élémentaire, ou bien plus généralement le produit de matrices élémentaires.

En faite B-1 résulte des produits de matrice élementaires qu'on a fait sur I

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 17:28

Désolé pour mes edits successifs d'ailleurs, je rajoute toujours quelque chose à mes messages en relisant.

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 17:30

maths-in a écrit:En faite B-1 résulte des produits de matrice élementaires qu'on a fait sur I

Qu'on a fait sur B plutôt ! Pour transformer B en la matrice identité.

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 17:31

Ouais ok qu'on fait sur B pour avoir I et en meme temps sur I pour avoir B^-1 c'est ça ?

C'est pas grave pour les edit !

par **Sourire_banane** » 22 Oct 2013, 17:34

maths-in a écrit:Ouais ok qu'on fait sur B pour avoir I et en meme temps sur I pour avoir B^-1 c'est ça ?

C'est pas grave pour les edit !

On peut voir ça comme ça si tu considères l'algorithme de Gauss !

par **maths-in** » 22 Oct 2013, 17:38

Sourire_banane a écrit:On peut voir ça comme ça si tu considères l'algorithme de Gauss !

MERCI !!
Bonne soirée !

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