Votre plus grande ..

[Nightmare]

Salut,

bien évidemment le découpage n'est pas réalisable dans la pratique, on ne peut pas se représenter un morceau non-mesurable, ne serait-ce que pour prouver leur existence, il faut admettre l'axiome du choix qui lui même est indécidable. Déjà que se représenter l'ensemble de Cantor, c'est pas évident ...

Pour l'existence de cette décomposition, l'idée principale est de dire qu'on peut trouver deux éléments du groupe des isométries, plus particulièrement deux rotations, qui engendrent un groupe libre, c'est à dire qu'en les appliquant autant de fois qu'on veut l'une après l'autre, on ne pourra jamais retomber sur nos points de départ. C'est l'action de ce groupe libre sur la boule qui va nous permettre de la "dédoubler".

[Ben314]

Pour parler du problème de savoir si le découpage "paradoxal" de Banach-Tarski correspond ou non à quelque chose de "concret", on peut se poser la question de savoir s'il est évident que tout objet "concret" possède un volume ou bien s'il existe des objets "concrets" non mesurables.

L'exemple qui me vient à l'esprit et celui d'une (vraie) éponge : supposons que l'on cherche à mesurer son volume en la plongeant (totalement séche) dans une bassine d'eau et en regardant de combien le niveau d'eau monte (en supposant évidement qu'on l'a attaché au fond de la bassine pour qu'elle soit entièrement immergée)
Il est clair que le volume que l'on mesure dépend du fait que l'ont ait "écrasé" l'éponge (pour en faire sortir l'air) ou pas. A priori, je pense que le volume mesuré risque même de dépendre de la force avec laquelle on a écrasé l'éponge pour en expulser l'air...

Bon, tout ça juste pour dire que, à mon avis, il n'est pas si "évident" que ça que tout objet "concret" soit mesurable...

[beagle]

Pour ceux qui ne connaissent pas (j'en fais partie),
quelle différence et en quoi c'est plus bluffant que la possibilité
de dédoubler un segment (Cantor)?

[Nightmare]

Salut beagle, à quelle oeuvre de Cantor fais-tu allusion?

[beagle]

Salut beagle, à quelle oeuvre de Cantor fais-tu allusion?

ou la, je lui ai fait dire ce qu'il n'a pas dit?
On ne peut dire ça à partir de Cantor?

[Nightmare]

Ben, je ne sais toujours pas de quel théorème de Cantor tu pars :s

[beagle]

Aucune idée duquel je parle, il me semblait qu'avec un segment je pouvais tout aussi bien en faire deux identiques pour le mème prix,...
Bon, je n'y connais rien ...
et donc cela me semblait proche d'une sphère je fais deux sphères,non?

[Nightmare]

Il me semble justement que le paradoxe de banach-Tarski n'est valable que pour des boules en dimension au moins 3.

[Doraki]

Il dit que l'application x -> 2*x transforme [0;1] en [0;2], donc que deux intervalles de longueurs différentes ont le même nombre d'éléments.

Moi sinon j'ai bien aimé Galois et Gödel.

[windows7]

tiens comme ca:

une fonction d'un ensemble X dans un ensemble Y peut elle avoir une infinité de limite en un point ? ( juste pour eveiller la curiosité des jeunes )

[Nightmare]

J'ai proposé un exo équivalent dans un post récent de topologie.

:happy3:

[windows7]

ah oui jvien de voir :++:

[Ben314]

Concernant le "paradoxe" de Banach-Tarski, je confirme qu'effectivement, il faut être en dimension 3 ou plus.
En fait, ce "paradoxe" a été donné pour montrer qu'il n'existe pas de "mesure" finiement additive et stable par isométrie qui mesurerait toutes les parties de R^3.
De telles mesures existent dans R et dans R^2 (il me semble me rappeller que, comme par hasard, c'est Banach qui l'a montrer) et cela rend un tel paradoxe impossible dans R ou dans R^2.
Je rappelle que, dans le paradoxe de Banach-Tarski, une fois la première boule découpée, on n'applique à chacun des morceaux que des isométries (positives) pour reconstituer deux autres boules donc ce n'est pas vraiment de même natures que les "paradoxes" type ensemble de Cantor ou courbe de Peano qui parlent quand à eux uniquement de cardinalité.

[beagle]

Ce que j'ai compris:
-soit le frère de Nightmare est un superpédagogue
-soit le petit Nightmare touchait déjà une sacrée bille au lycée
Enfin c'était pour dire que je suis géné pour dire que cela me fait plus d'effet que Cantor parce qu'en fait il me manque des éléments pour apprécier.
j'ai bien trouvé un supersite sur le sujet:
http://www-magistere.u-strasbg.fr/IMG/pdf/JMuller.pdf
mais pas de bol, cela manque de dessin,
des fois je comprends des mots.
Comme je ne suis pas sur de ce qu'il me reste des explications de Ben sur Lebesgue, le dénombrable , le non dénombrable, le mesurable et le non mesurable,
j'ai du mal à imaginer ce que sont les équidécompositions, ce sont des morceaux de quoi?
je vois mal en quoi c'est très différent d'additionner des points non mesurables, ou mesurés à zéro?, ce qui permet d'en avoir autant lorsqu'on en a le double ...

[benekire2]

Beagle >> C'est probable que nightmare touchait déjà beaucoup au lycée, p-e assez pour toucher la démo, j'en sais rien. Enfin ce qui est sûr c'est que on m'en a parlé quand j'étais au collège de ce paradoxe ( je connaissais rien aux maths) et bah ça m'a parru fort très fort .... la démo je m'en foutais à l'époque ! Maintenant c'est différent :zen:

[Nightmare]

ne vous méprenez pas, mon frère (qui soit dit en passant est effectivement un bon pédagogue, bien que piètre mathématicien :P) m'a effectivement rapporté ce paradoxe lorsque j'étais en seconde, mais il m'a fallut attendre ma L3 pour le comprendre réellement, ce fut cela dit une bonne motivation pour me plonger dans les maths "supérieures" au lycée.

:happy3:

[benekire2]

Je ne connais pas la démo hélas ! Ceci dit j'avais entendu qu'un sup est capable de la comprendre , bizarre , enfin c'est peut être une version pour "enfants" :id: