Problème de baignoire au certif

[alex1940]

Bonjour,
Voici un énoncé de problème que j'ai trouvé sur internet et qui aurait été posé au début du siècle dernier
pour feu le "certif":
Une baignoire contient 140 litres. Le robinet d'eau chaude que alimente a un débit de 15L par minute. En utilisant seulement le robinet d'eau froide,le remplissage de la baignoire prend 3 minutes de plus qu'avec les deux robinets. Calculer le débit d'eau froide.

Par l'algèbre c'est assez simple ,mais il faut résoudre une équation du second degré,or, à ma connaissance, ils ne faisaient pas d'algèbre.Alors comment faisaient ils ?

[alegaxandra]

Une équation du 1er degré arrive par substitution d'un trinôme du 2ème degré : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-college-lycee/246969-probleme-de-mathematiques-de-1eres.html

[alex1940]

Pourriez vous expliciter un peu ?
Merci

[SAGE63]

Pourriez vous expliciter un peu ?
Merci

Au temps du Certificat de fin d'études primaires les élèves étudiaient la méthode des FAUSSES SUPPOSITIONS, à savoir :

La baignoire fait 140 litres.

Le robinet eau chaude a un débit de 15 litres à la minute
Le robinet eau chaude met 9,3333 minutes pour remplir la baignoire.

PREMIERE SUPPOSITION
Le robinet eau chaude a un débit de 15 litres à la minute
Si le robinet eau froide a un débit de 15 litres a la minute;
Le robinet eau froide mettra 9,3333 minutes pour remplir la baignoire,
et ensemble le robinet eau chaude et eau froide aurait un débit total de 30 litres minutes
et les deux robinets mettront alors 4,6667 minutes pour remplir la baignoire
soit 9,3333 -4,6667 = 4,6667 minutes de moins que le seul robinet d'eau chaude.

RESULTAT FAUX

DEUXIEME SUPPOSITION
Le robinet eau chaude a un débit de 15 litres à la minute
Si le robinet eau froide a un débit de 25 litres a la minute;
Le robinet eau froide mettra 5,6000 minutes pour remplir la baignoire,
et ensemble le robinet eau chaude et eau froide aurait un débit total de 40 litres minutes
et les deux robinets mettront alors 3,5000 minutes pour remplir la baignoire
soit 5,6000 -3,5000 = 2,1000 minutes de moins que le seul robinet d'eau chaude.

RESULTAT FAUX

TROISIEME SUPPOSITION
Le robinet eau chaude a un débit de 15 litres à la minute
Si le robinet eau froide a un débit de 20 litres a la minute;
Le robinet eau froide mettra 7,0000 minutes pour remplir la baignoire,
et ensemble le robinet eau chaude et eau froide aurait un débit total de 35 litres minutes
et les deux robinets mettront alors 4,0000 minutes pour remplir la baignoire
soit 7,0000 -4,0000 = 3,0000 minutes de moins que le seul robinet d'eau chaude.

La réponse au problème posé : le robinet d'eau froide a un débit de 20 litres à la minute.

[alex1940]

Je ne connaissait pas cette méthode des fausses suppositions qui
me semble surtout efficace si on peut ,comme ici,'encadrer' la
solution et donc restreindre l'intervalle où on la cherche.

Je sais que les Grecs résolvaient arithmétiquement des équations
du 2 eme degré grâce à des considérations géométriques (on trouve
ça sur Wikipédia) mais savaient-ils passer de:

140/x - 140/(x+15) = 3 à x^2+a.x = b ?

peut être,quoique Diophante faisait déja presque de l'algèbre avec
son arithme.
En tous cas merci pour votre réponse,ce problème était bien du
niveau certif.
Quand même,vive l'algèbre !

[SAGE63]

Je ne connaissait pas cette méthode des fausses suppositions qui
me semble surtout efficace si on peut ,comme ici,'encadrer' la
solution et donc restreindre l'intervalle où on la cherche.

Je sais que les Grecs résolvaient arithmétiquement des équations
du 2 eme degré grâce à des considérations géométriques (on trouve
ça sur Wikipédia) mais savaient-ils passer de:

140/x - 140/(x+15) = 3 à x^2+a.x = b ?

peut être,quoique Diophante faisait déja presque de l'algèbre avec
son arithme.
En tous cas merci pour votre réponse,ce problème était bien du
niveau certif.
Quand même,vive l'algèbre !

BONJOUR

Consulter le site http://www.irem.ujf-grenoble.fr

On a un exemple de :

PROBLEME : Fausse supposition

bonne lecture

[beagle]

t= le temps mis pour remplir la baignoire avec les deux robinets
? = le débit robinet eau froide recherché

15t + ?t = ?(t+3) = 140
15t +?t = ?t + 3?
15t = 3?
5t = ?

and
15t + 5t.t = 140
3t +t.t =28
t(3+t) = 4x7
alors t=4 mn, solution évidente

donc: ? = 5x4 = 20l/mn

Prérequis:
en français: baignoire, eau , robinet, litre, minute, débit
en mathématiques : factorisation-développement

conclusion: exercice de début de collège

[beagle]

sans algèbre, ce sont bien des méthodes d'approche qui permettent de cerner le résultat.

Pendant le temps t de remplissage avec les deux robinets,
le robinet d'eau froide remplit sa part, et en 3 minutes ce robinet devra remplir la part remplie pendant le temps t par le robinet d'eau chaude.
3 fois le débit du robinet eau froide remplira le volume de 15 fois le temps t .

140/15 = 9.33
si les deux robinets coulaient idem , remplissage en 4,66 minutes
or le robinet eau froide seul ne prend que 3 mn pour remplir ce qu'il reste,
donc son débit est plus important que le débit eau chaude,
donc le temps t est de moins de 4,66 minutes.

regardons donc ce qui se passe à t=4mn,
alors débit eau froide est 5x4= 20l/mn, il donnera 20x4 =80litres en 4 mn
eau chaude donnera 15x4 = 60 litres en 4 mn
80+60 =140 l , la baignoire
Coup de bol en 4+3 =7 mn 7x20= 140 l , la baignoire


alors certes si c'était des valeurs plus tordues il faudrait encadrer.

Ici comme le 4x7= 28 solution évidente permet résolution algébrique sans connaitre le second degré,
idem ici la première tentative à essayer, le 4 mn , est la bonne et tombe juste.

[beagle]

Maintenant je dirais que les deux méthodes utilisent des données ensemblistes de base, implicites.
Et c'est la raison qui fait qu'aujourd'hui les élèves du collège seraient en difficultés avec les deux méthodes.
N' y arriveraient que les élèves qui ont pigé sans l'avoir conscientisé ces données ensemblistes,
qui ne sont que les données de support physique au raisonnement.
et comme on ne cherche pas plus que cela à donner ces supports aux élèves en difficulté,
ben ce sont ceux qui sont en difficultés qui le resteront bien longtemps.