Multiples de 11

[julliand]

Pouvez-vous, SVP, m'expliquez cette curieuse propriété des multiples de 11 que j'ai découverte par hasard et que d'autres connaissent peut-être.
Soit, par exemple le nombre 3956876 multiple de 11 (différence des sommes de chiffres de rangs pairs et impairs multiple de 11; ici 0). Découpons-le en tranches de 2 chiffres à partir des unités : 3 95 68 76. Faisons la somme de ces nouveaux nombres : 3+95+68+76=242. Cette somme est aussi un multiple de 11.
Il en est de même pour toutes les sommes suivantes : 39568+76=39644; 395+6876=7271; 3+956876=956879; 3+95+6876=6974... Et ceci es vrai pour tous les multiples de 11 que j'ai testés.

Et existe-t-il d'autres propriétés pour les multiples de 11?

Un grand merci à tous ceux qui chercheront à m'éclairer.

[capitaine nuggets]

Salut !

Si tu as déjà étudié les congruence, cela vient du fait que , avec , c'est-à-dire que peut toujours s'écrire comme :

(un multiple de 11 ).

Si tu n'as pas vu cela, étudions un exemple.

Prenons ton nombre choisi initialement.
Alors on peut le décomposer sous la forme





(un certain multiple de 11)
(un certain multiple de 11)
etc...

Finalement, en remplaçant, on obtient que





et en rassemblant les multiples de 11, on trouve que

les facteurs "+1" et "-1" restant : .

Donc est un multiple de si et seulement si est un multiple de .

Ce résultat se généralise au cas général !