Groupe et ordre.

[Narutachi]

Bonsoir,
Je suis nouveau dans ce forum ! J'espère que tout le monde va bien !

J'ai un exercice de maths, dont le sujet est :
Soit G un groupe fini et f un automorphisme de G. Montrer que : pour tout x dans G, x et f(x) ont le même ordre.

Bon, on sait que si n est l'ordre de x alors f(x^n) = e, où est le neutre dans G. f(x^n) = (f(x))^n = e. Seulement l'ordre de e c'est 1. Du coup je suis bloqué, si quelqu'un pouvait m'aider un peu...

Merci d'avance.

[L.A.]

Bonjour et bienvenue

déjà il faut bien comprendre que quand tu as un isomorphisme (ou ici un automorphisme), c'est simplement comme si tu donnais d'autres noms au groupe et à ses éléments, à part ça toutes les propriétés algébriques, les ordres notamment, sont identiques malgré ce changement de nom.

Pour le montrer, il faut que tu vérifies que .

Comme , l'un des deux sens est évident. Pour l'autre, il faut voir que entraîne .