EXTENSION DE LA CONJECTURE DE COLLATZ

[Coll1938]

Bonjour à toutes et tous.

J'ai étudié la conjecture de Collatz et suis arrivé à un certain nombre de résultats et souhaite communiquer de façon constructive a faire progresser les recherches.
Une des première découverte est que la conjecture peut être étendue.
La conjecture de Collatz dit on part d'un nombre entier positif non nul quelconque, si le nombre est pair il est divisé par 2 jusque obtenir in nombre impair qui est multiplié par 3 et on ajoute un pour retrouver un nombre pair et ainsi de suite, la conjecture est que on terminera toujours par 1 et répétition du cycle perpétuel 1,4,2,1.

Définissons une suite construite avec les règles suivantes appliquées aux nombres entiers positifs non nul:
Si le nombre est divisible par 3 on le divise par 3 jusqu' obtenir un nombre pair ou impair non divisible par 3
Si le nombre est pair non divisible par 3 on le divise par2 jusqu'à obtenir un nombre impairet enfin ce nombre est multiplié par 5 et on ajoute un pour obtenir le nombre pair suivant, exemple de suite ainsi obtenu!
17, 86,43, 216, 72, 21, 7, 36, 12, 4, 2, 1, 6, 3, 1, 6, 2, 1
Les suites telles de définies se terminent toujours par 1

On peut étendre avec divisible par 5, puis divisible par 3 puis divisible par 3 et multiplié par 7+1
Exemple: 115, 23, 162, 81, 27, 9, 3, 1, 8, 4, 2, 1

Merci d'avoir pris le temps de lire

Pierre né en1938 l'année suivant l'année de la conjecture.

[Coll1938]

Pour rappel les règles d’une suite de Collatz.

On part d’un nombre entier positif non nul quelconque X1.
A Xn-1 succède Xn tel que si Xn-1 est pair Xn=Xn-1/2 et si Xn-1 est impair Xn=3*Xn-1+1.
On établie ainsi une suite de Collatz.
La conjecture non démontrée jusqu’à aujourd’hui est que toute suite de Collatz quelque soit X1 se termine toujours par 1 puis répétition éternelle du cycle trivial 1, 4 ; 2 ; 1.

On remarque que l’application des règles ci dessus définies consiste en faits à passer de l’ensemble des nombres entiers naturels à l’ensemble des impairs non divisible par 3.

Si on inverse la règle 3*X+1 par (Y-1)/3 les nombres obtenus par l’application de la règle 3*X+1 à (Y-1)/3 sont les nombres Y qu sont tous les nombres impairs non divisible par 3.

Si Y est 1 modulo 3 on obtient la suite (Y*4^n-1)/3 des nombres impairs qui donnent Y comme successeur unique de tous les nombres (Y*4^n-1)/3 pour n de 1 à l’infini.
Si Y est 2 modulo 3 on obtient la suite (Y*2^(2n-1)-1)/3 des nombres impairs qui donnent Y
comme successeur unique de tous les nombres (Y*2^(2n-1)-1)/3 pour n de 1 à l’infini.

Donc tout nombre entier positif impair est représenté une fois et une seule par :
(Y*4^n-1)/3 si Y 1 modulo 3 ou (Y*2^(2n-1)-1)/3 si Y 2 modulo3

On obtient la table de COLLATZ ci dessous pour les premières lignes et colonnes :

1 1 5 21 85 341 1365
5 3 13 53 213 853 3413
7 9 37 149 597 2389 9557
11 7 29 117 469 1877 7509
13 17 69 277 1109 4437 17749
17 11 45 181 725 2901 11605
19 25 101 405 1621 6485 25941
23 15 61 245 981 3925 15701
25 33 133 533 2133 8533 34133
29 19 77 309 1237 4949 19797
31 41 165 661 2645 10581 42325
35 23 93 373 1493 5973 23893
37 49 197 789 3157 12629 50517
41 27 109 437 1749 6997 27989
43 57 229 917 3669 14677 58709
47 31 125 501 2005 8021 32085
49 65 261 1045 4181 16725 66901
53 35 141 565 2261 9045 36181
55 73 293 1173 4693 18773 75093
59 39 157 629 2517 10069 40277
61 81 325 1301 5205 20821 83285

Cette table peut être étendue en lignes et colonnes est à quelques propriétés remarquables dont les 4 essentielles sont:
La première colonne étendue à l'infini contient tous les nombres impairs non divisibles par 3 une fois et seulement une fois
Toutes les colonnes hors la première contiennent tous les nombres impairs une fois et seulement une fois
Pour chaque ligne le premier nombre de la ligne est le résulta UNIQUE de l'application de la règle de COLLATZ à chaque nombre de la ligne excepté bien sur le premier.
Enfin l'essentiel seul 1 est pésent deux fois sur la première ligne, conjecture vérifiée oblige!

Cette table permet de vérifier la validité de la conjecture et donne d'autres enseignements, par exemple le nombre de nombres entiers qui commencent une suite de COLLATZ de longueur n entier ne comptant que les étape impaires avant d'atteindre 1 est infini quelque soit n; pour n=1 on a la suite infinie (4^,n-1)/3