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Sake
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par Sake » 07 Sep 2015, 15:32

4demoyenne a écrit:Merci, je vais lire un peu tout ça. Déjà j'aime bien ce genre de texte, au hasard :

Les maths c'est surtout une manière de penser, m'est avis. Des termes techniques, objectifs, non kinesthésiques. Une autre manière de voir le monde. Reste ensuite à étudier les règles et faire les exercices. Mais l'état d'esprit est essentiel au début, c'est sûrement ce qui fait la différence entre les bons élèves en math et les autres, nonobstant quelques artefacts surdoués.

Je pense la même chose. Il faut être réceptif à l'abstraction, et étudier dans un contexte favorable aide beaucoup, que ce soit dans un cadre ludique ou auprès d'un pédagogue patient.
Plus jeune, je faisais quelques blocages psychologiques devant des évidences, car mon père était derrière moi en m'aidant pour les devoirs, et s'impatientait un peu lorsque je n'arrivais pas à comprendre la chose du premier coup. Il s'avère qu'en travaillant par moi-même, dans des situations propices à la concentration, et surtout avec de la patience ou en expliquant mon problème à quelqu'un, le blocage disparaissait. C'est ainsi qu'un élève devient autonome par une pratique personnelle et progressive.



beagle
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par beagle » 07 Sep 2015, 16:08

Bon, reprenons,
le support de l'abstraction est très longtemps physique,
la kinesthésie est au contraire très présente dans l'apprentissage des maths.

Et je suis opposé à la vision d'astro52 sur le dessin,
car en s'opposant à offriraux enfants le support physique à l'abstraction,
la ligne numérique :avant, après ,plus ou moins
la patate ensembliste dedans dehors , le tout ou la partie,
et bien en refusant de donner ces outils aux enfants on pénalise ceux qui sont justement en difficulté dans le visio-spatial et qui font des maths en remuant des mots ...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Sake
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par Sake » 07 Sep 2015, 16:50

beagle a écrit:Bon, reprenons,
le support de l'abstraction est très longtemps physique,
la kinesthésie est au contraire très présente dans l'apprentissage des maths.

Et je suis opposé à la vision d'astro52 sur le dessin,
car en s'opposant à offriraux enfants le support physique à l'abstraction,
la ligne numérique :avant, après ,plus ou moins
la patate ensembliste dedans dehors , le tout ou la partie,
et bien en refusant de donner ces outils aux enfants on pénalise ceux qui sont justement en difficulté dans le visio-spatial et qui font des maths en remuant des mots ...

Personnellement je fonctionne toujours avec des patates... surtout dans le chapitre "Topologie". C'est grave, docteur ?

Astro52
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par Astro52 » 07 Sep 2015, 16:59

beagle a écrit:Bon, reprenons,
le support de l'abstraction est très longtemps physique,
la kinesthésie est au contraire très présente dans l'apprentissage des maths.


Ca varie d'une abstraction à l'autre. Dans la géométrie des objets sensibles, il est facile d'avoir longtemps différents carrés et triangles, par leur taille, leur couleur, leur matière... qu'on apprend à ranger dans la boîte carré ou triangle en dépit de ces différences. Dans ce cas effectivement on a longtemps un support physique en relation avec l'abstraction, même si ce n'est pas sans lien avec les mots qu'on utilise pour en parler. Pour le bébé, ce fut une étape d'abstraction de comprendre qu'une pomme rouge et une pomme jaune sont 2 pommes, et l'apprentissage du mot "pomme" a contribué à ce processus d'abstraction. De la même façon, quand on nomme un "carré rouge" et un "carré jaune", on dit à chaque fois le mot "carré", ce qui contribue à faire admettre qu'ils peuvent aller ensemble. En n'oubliant pas qu'à cet âge le concept de mot n'est pas construit donc que ça n'est quand même pas aussi évident pour l'enfant, qui entend carrérouge et carréjaune, que ça l'est pour nous.
J'aime bien l'exemple du tri des formes en maternelle car c'est la manière la plus compréhensible d'expliquer ce qu'est l'abstraction, même les enfants peuvent comprendre.
Mais quand l'abstraction ne s'appelle plus "carré" mais "verbe" ou "soustraction", le support physique est nettement moins évident. Dans l'absolu, la définition de l'abstraction reste celle qu'Henri Poincaré donnait des mathématiques : donner le même nom à des choses différentes. Dans tous les cas ceci reste valable. Mais pédagogiquement, il est facile de montrer un carré ou un rond à un enfant, alors que lui montrer un verbe fait plus facilement tomber dans l'adage du proverbe chinois : le sage montre la Lune, le fou regarde le doigt.

Et je suis opposé à la vision d'astro52 sur le dessin, car en s'opposant à offrir aux enfants le support physique à l'abstraction,


Le schéma relève du formalisme, et donc n'a rien à voir avec un "support physique de l'abstraction". Le formalisme n'est pas l'abstraction. Il n'a sa place qu'en tant que synthèse de ce que savent déjà ceux qui ont déjà construit l'abstraction en question, et qui maîtrisent déjà suffisamment les savoir-faire associés.

A ce stade du texte, j'aurais sans doute été plus clair si j'avais dit tout de suite que c'est uniquement de fait d'avoir trouvé l'opération qui permet de trouver le schéma. Dès lors on ne peut pas prétendre que le schéma donne l'opération. C'est pourtant vrai dans l'absolu, mais comme pour avoir le schéma il faut avoir l'opération, on tourne en rond tout simplement.

Par ailleurs, je ne suis pas opposé à l'usage du schéma puisque je propose d'y recourir plus loin dans le même texte. Mais uniquement à un moment de la progression des élèves où il a sa place.

la ligne numérique :avant, après ,plus ou moins


Si tu lis le support pédagogique du logiciel "Je compte, ça compte" pour la série 1, tu verras qu'au contraire je préconise cela à un stade extrêmement précoce des apprentissages mathématiques.
Par ailleurs, j'y ai eu recours également en remédiation lourde, voir "La course aux bonbons" dans "Cas concret de rééducation en mathématiques", séance 3.

la patate ensembliste dedans dehors , le tout ou la partie,


J'en recommande l'usage un tout petit peu plus loin dans le texte "Comment les enfants apprennent à résoudre des problèmes", et à un stade relativement précoce également (pas celui des schéma discriminant addition/soustraction).
J'en parle également dans "Cas concret de rééducation en mathématiques", séance 2.
Il est évident que j'insiste aussi sur les précautions à prendre avec l'usage précoce de cette technique, parce qu'il y en a, mais sans qu'elles empêchent d'y recourir.

et bien en refusant de donner ces outils aux enfants


Personne ne leur refuse, l'école en use et abuse. L'expérience prouve que ce sont les enfants qui ne se servent pas des outils qui ne servent à rien. Ceux qui savaient faire avant font comme ils savent sans s'en servir, puis une fois qu'ils ont fini rajoutent à la fin le schéma qui fait plaisir à la maîtresse. Et les autres ne sont toujours pas plus avancés.

on pénalise ceux qui sont justement en difficulté dans le visio-spatial


C'est très paradoxal comme affirmation. Comment ceux qui sont en difficulté dans le visuo-spatial pourraient y recourir beaucoup mieux que les autres pour comprendre quelque chose qui n'a rien à voir avec le visuo-spatial ?

et qui font des maths en remuant des mots...


Le fait est que la dimension langagière des apprentissages mathématiques est largement le parent pauvre de l'enseignement des maths en primaire en France, malgré les efforts de Stella Baruk depuis des décennies. Le fait est aussi que quand on prend en charge des enfants qui n'ont plus rien compris en maths depuis leur entrée au CP, c'est en décryptant les pièges que la langue française tend à la compréhension qu'on les débloque.

Astro52
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par Astro52 » 07 Sep 2015, 17:05

Sake a écrit:Personnellement je fonctionne toujours avec des patates... surtout dans le chapitre "Topologie". C'est grave, docteur ?


La topologie est cette branche des mathématiques qui a l'étrangeté de relier l'enfant d'école maternelle et l'université, et de disparaître d'entre les deux.

Ce qu'on dit là n'a rien à voir avec la topologie, il s'agit du choix entre addition et soustraction pour résoudre un problème dans les premières classes de l'école élémentaire.

D'autre part, si tu fais de la topologie ailleurs qu'en maternelle, tes élèves doivent avoir largement plus de 13-14 ans, et donc ils ont un cerveau dont la maturité physiologique n'est pas celle d'un enfant de 6 à 8 ans. Ca joue aussi énormément sur ce que je disais plus haut sur le formalisme.

4demoyenne
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par 4demoyenne » 07 Sep 2015, 17:07

Sake a écrit:Je pense la même chose. Il faut être réceptif à l'abstraction, et étudier dans un contexte favorable aide beaucoup, que ce soit dans un cadre ludique ou auprès d'un pédagogue patient.
Plus jeune, je faisais quelques blocages psychologiques devant des évidences, car mon père était derrière moi en m'aidant pour les devoirs, et s'impatientait un peu lorsque je n'arrivais pas à comprendre la chose du premier coup. Il s'avère qu'en travaillant par moi-même, dans des situations propices à la concentration, et surtout avec de la patience ou en expliquant mon problème à quelqu'un, le blocage disparaissait. C'est ainsi qu'un élève devient autonome par une pratique personnelle et progressive.

Le côté affectif joue un rôle important dans le bon apprentissage des mathématiques. Il y a maintenant pas mal d'années de cela (une dizaine), j'avais lu une étude expliquant que les enfants de parents divorcés ont des résultats en mathématiques inférieurs aux enfants de couples unis.

beagle a écrit:Bon, reprenons,
le support de l'abstraction est très longtemps physique,
la kinesthésie est au contraire très présente dans l'apprentissage des maths.

Et je suis opposé à la vision d'astro52 sur le dessin,
car en s'opposant à offriraux enfants le support physique à l'abstraction,
la ligne numérique :avant, après ,plus ou moins
la patate ensembliste dedans dehors , le tout ou la partie,
et bien en refusant de donner ces outils aux enfants on pénalise ceux qui sont justement en difficulté dans le visio-spatial et qui font des maths en remuant des mots ...

C'est justement ce point-là que je voudrais approfondir. Comme dit plus haut, Alain Bouvier déplore dans un de ces livres qu'on enseigne aux enfants à travailler avec des chiffres et non point à manipuler visuellement des nombres (je résume sauvagement).
C'est-à-dire que les mômes font de la grammaire mathématique, dont l'aboutissement n'est rien d'autre que de savoir utiliser la calculatrice : au mieux ça fonctionne, mais ils n'ont rien compris et ne sont pas plus intelligents qu'avant.
Donc comment la faire travailler, cette représentation spatiale des concepts mathématiques ? Ceux qui sont bons en mathématiques, comment faites-vous ? Vous vous les représentez, les patates ? Et si on vous demande de faire une division de tête, vous découpez des frites... ?

Astro52
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par Astro52 » 07 Sep 2015, 17:55

4demoyenne a écrit:Le côté affectif joue un rôle important dans le bon apprentissage des mathématiques. Il y a maintenant pas mal d'années de cela (une dizaine), j'avais lu une étude expliquant que les enfants de parents divorcés ont des résultats en mathématiques inférieurs aux enfants de couples unis.


Mais est-ce que les maths ont été comparées aux résultats dans le autres matières ? Peut-être observe-t-on les mêmes écarts dans toutes les matières. Quand on connaît l'école de l'intérieur, on a remarqué un certain nombre de choses qu'il n'est pas politiquement correct de dire, tu sais...

C'est justement ce point-là que je voudrais approfondir. Comme dit plus haut, Alain Bouvier déplore dans un de ces livres qu'on enseigne aux enfants à travailler avec des chiffres et non point à manipuler visuellement des nombres (je résume sauvagement).


Je ne suis pas sûr de cerner complètement le truc mais je vais essayer de répondre.
D'abord, il faut comprendre l'importance sur le plan pédagogique que les enfants distinguent bien le calcul mental et le calcul posé. Un élève peut rencontrer des difficultés en calcul mental parce qu'il essaye d'appliquer mentalement une procédure de calcul posé très lourde alors que le calcul demandé permet d'utiliser d'autres astuces bien plus légères et propres au calcul mental.

Donc on va avoir d'un côté le calcul mental, où effectivement on peut utiliser des représentations visuelles, je le propose par exemple dans les séries avancées du logiciel "Je compte, ça compte". On peut aussi utiliser les doigts, ce qui trouve une justification très forte sur le plan neurologique. Mais la différence entre "compter sur les doigts" et "calculer sur les doigts" reste un enjeu fort vis-à-vis de la formation des instits.
Et de l'autre côté le calcul posé, où par définition il va bien falloir écrire des chiffres.

C'est-à-dire que les mômes font de la grammaire mathématique, dont l'aboutissement n'est rien d'autre que de savoir utiliser la calculatrice : au mieux ça fonctionne, mais ils n'ont rien compris et ne sont pas plus intelligents qu'avant.


Je ne sais pas quel est l'aboutissement. Quand on abuse de formalisme dès l'école primaire avec des enfants dont la maturité cérébrale est loin de permettre cela, ça mérite bien le surnom de "grammaire mathématique", car c'est exactement la même problématique.

Mais j'ai aussi vu 10 fois pire à l'étranger qu'en France. Quand ils faisaient résolution de problèmes, c'est le maître qui finissait par faire la résolution du problème alors qu'aucun élève n'avait trouvé quoi que ce soit ; la procédure de résolution proposée était un "algèbre de bouts de segments" tellement abscons qu'il aurait encore mieux valu écrire carrément des équations classiques (bien qu'anachroniques à cet âge) ; et les élèves faisaient (seulement) les calculs. C'était des champions du calcul mental et posé par rapport aux petits français, mais sur le plan de la réflexion et de la compréhension, tout le reste en fait, c'était le néant absolu, et ce n'était pas les techniques improbables proposés par le manuel qui risquaient d'y changer grand chose. Je préciserais à la décharge de l'enseignant que dans ce pays la liberté pédagogique n'existe pas : un manuel obligatoire est imposé et envoyé par l'institution, et l'instituteur n'a pas d'autre choix que de l'appliquer strictement.

Il ne faut pas croire qu'on est forcément les derniers de la classe en France, beaucoup de pays de font guère mieux que nous, et ceux qui ont des résultats nettement meilleurs les doivent souvent à d'autres raisons que la pédagogie :
- Moyenne faite uniquement à l'intérieur d'un îlot de richesse économique : Monaco, Liechtenstein, Hong Kong, Macao, Singapour...
- Langue maternelle facilitant les acquisitions mathématiques : toute l'Asie, Finlande, Estonie, Hongrie...
- Langue maternelle facilitant l'apprentissage de la lecture : Finlande, Estonie, Hongrie...
- Elèves qui travaillent 70 à 90 heures par semaine dès le CP : Corée du sud, Chine, Japon...

Donc comment la faire travailler, cette représentation spatiale des concepts mathématiques ?


La question n'est pas tellement comment mais plutôt quand.

Le "savoir-faire dans 95% des cas", ou la construction d'un concept abstrait, sont une première étape des acquisitions. Ils passent par l'expérience, le geste, l'intuition.

Savoir l'expliquer, savoir l'enseigner, savoir déjouer les pièges consciemment, relèvent d'un niveau supérieur de maîtrise, auquel on accède par des moyens différents (ceux des "experts"), et donc, auquel on ne peut accéder qu'après avoir acquis le stade précédent. Les représentations visuelles qui sont à manier avec précaution en pédagogie appartiennent à ce stade (tandis que d'autres posent moins problème).

A la marge, il est possible de passer directement à la dernière étape. Imaginons un mathématicien qui ne connaît pas bien la physique, ce mathématicien voit une équation relative à un sujet de physique. A la "tête de l'équation", il devrait comprendre de quoi il en retourne sur ce phénomène physique qu'il n'avait pas étudié avant. Il passera alors du stade 1 au stade 3 directement, et ça n'a rien d'anormal pour lui : étant mathématicien, il est entré dans la pensée formelle depuis bien longtemps, il la maîtrise pleinement, et puis la formule proposée est écrite dans un langage qu'il connaît bien. Rien à redire. Là où il y a à redire, c'est quand on demande à des enfants d'apprendre en passant par des chemins qui supposent les mêmes formes d'intelligence que celle mise en jeu par ce mathématicien. Avant 13 ans en moyenne, ça n'est même pas possible sur le plan simplement physiologique du développement du cerveau.

Donc pour répondre à ta question, la difficulté sur le plan pédagogique est la construction du concept, dont l'apprentissage ne passe pas par la représentation. On peut passer par des représentations quand même (pour ce qui est de l'enseignement), mais ce sont les mots qu'on emploie pour en parler qui déclencheront l'apprentissage, ce n'est pas par une espèce de voie directe purement visuelle, comme envisagée dans une impossible méthode globale de lecture.

Une fois qu'on a des élèves qui ont le concept, pour ce qui est des représentations expertes et des mots pour en parler, on n'a que l'embarras du choix, on arrivera toujours à se comprendre. En pratique, on choisira de familiariser les élèves avec les formes expertes reconnues qu'ils auront à manier plus tard. Mais les difficultés pédagogiques ne sont clairement pas là, où l'enseignant retrouve facilement non seulement sa connaissance qu'il maîtrise bien, mais aussi sa propre manière experte de réfléchir.

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Sake
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par Sake » 07 Sep 2015, 18:01

Astro52 a écrit:La topologie est cette branche des mathématiques qui a l'étrangeté de relier l'enfant d'école maternelle et l'université, et de disparaître d'entre les deux.

Ce qu'on dit là n'a rien à voir avec la topologie, il s'agit du choix entre addition et soustraction pour résoudre un problème dans les premières classes de l'école élémentaire.

D'autre part, si tu fais de la topologie ailleurs qu'en maternelle, tes élèves doivent avoir largement plus de 13-14 ans, et donc ils ont un cerveau dont la maturité physiologique n'est pas celle d'un enfant de 6 à 8 ans. Ca joue aussi énormément sur ce que je disais plus haut sur le formalisme.

Je répondais à Beagle qui faisait une aparté sur comment relier l'abstraction et l'intuition ;)

Et bien justement, Astro, le calcul numérique de base (c'est-à-dire additions, soustractions, etc.) nécessite une représentation quantitative du nombre, c'est-à-dire le décompte un par un des éléments d'un ensemble. L'enfant, quand il compte, compte tout d'abord sur ses doigts avant d'englober la notion de nombre, car il peut ainsi décomposer l'ensemble à énumérer en des unités insécables, c'est-à-dire la notion du 1. Bergson en dit pas mal là-dessus dans son "Essai sur les données immédiates de la conscience". En grandissant néanmoins, nous ne décomposons plus le nombre unité par unité - chacune semblable en tout point à une autre - pour ensuite l'assembler avec d'autres nombres, mais comme un tout, comme une entité à par entière. C'est ainsi que le nombre n devient, après des années d'entraînement, une unité que l'on peut "partitionner" (terme mal usité ici car il suppose qu'un nombre est un ensemble) en 2, en 3,... en n nombres pour les réassembler et en extraire des propriétés spécifiques.
Ainsi s'opère une distinction fondamentale entre le fait de compter des mêmes objets pris comme des individualités pour les sommer, ou les compter un par un pour les distinguer. Dans le premier cas, il faut supposer que les moutons se regroupent en un troupeau et donc que l'on peut s'imaginer qu'ils forment un set de points dans l'espace qu'il ne faut plus que dénombrer. Cela suggère que l'on représente spatialement l'ensemble des moutons et qu'on détermine la cardinalité de l'ensemble en un coup. Le troupeau est une entité que l'on imagine remplissant une portion de l'espace (représentation ensembliste de Z, par exemple).
Par contre, on pourrait tout aussi bien les compter en itérant un certain nombre de fois l'apparition d'un seul et même mouton, auquel cas on discrétise l'ensemble par notre capacité à passer de l'un à l'autre de manière discontinue dans le temps (et non dans l'espace). On compte par principe de récurrence, en ajoutant 1 à la quantité retenue en mémoire. En d'autres termes, on incrémente et on ne somme pas à la manière d'une intégration.


L'enfant apprend, tout petit, à compter successivement dans le temps. Il répète machinalement la séquence "1, 2, 3, 4, 5, ..." qu'il retient en la bijectant sur ses 10 doigts, ce qui nécessite tout de même l'étape d'incrémentation. Demandez à un bambin de donner le nombre 5 en montrant tout de suite le nombre de doigts que cela fait. Il aura presque toujours (sauf s'il a une aisance particulière avec les chiffres) besoin de compter "1, 2, 3, 4 et 5" avant d'afficher le résultat, ce qui montre que notre cerveau a besoin de développer une intuition spatiale des mathématiques, qui lui permet en effet de manier des notions plus complexes.

Astro52
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par Astro52 » 07 Sep 2015, 18:24

Sake a écrit:Je répondais à Beagle qui faisait une aparté sur comment relier l'abstraction et l'intuition ;)

Et bien justement, Astro, le calcul numérique de base (c'est-à-dire additions, soustractions, etc.) nécessite une représentation quantitative du nombre, c'est-à-dire le décompte un par un des éléments d'un ensemble. L'enfant, quand il compte, compte tout d'abord sur ses doigts avant d'englober la notion de nombre, car il peut ainsi décomposer l'ensemble à énumérer en des unités insécables, c'est-à-dire la notion du 1. Bergson en dit pas mal là-dessus dans son "Essai sur les données immédiates de la conscience". En grandissant néanmoins, nous ne décomposons plus le nombre unité par unité - chacune semblable en tout point à une autre - pour ensuite l'assembler avec d'autres nombres, mais comme un tout, comme une entité à par entière. C'est ainsi que le nombre n devient, après des années d'entraînement, une unité que l'on peut "partitionner" (terme mal usité ici car il suppose qu'un nombre est un ensemble) en 2, en 3,... en n nombres pour les réassembler et en extraire des propriétés spécifiques.
Ainsi s'opère une distinction fondamentale entre le fait de compter des mêmes objets pris comme des individualités pour les sommer, ou les compter un par un pour les distinguer. Dans le premier cas, il faut supposer que les moutons se regroupent en un troupeau et donc que l'on peut s'imaginer qu'ils forment un set de points dans l'espace qu'il ne faut plus que dénombrer. Cela suggère que l'on représente spatialement l'ensemble des moutons et qu'on détermine la cardinalité de l'ensemble en un coup. Le troupeau est une entité que l'on imagine remplissant une portion de l'espace (représentation ensembliste de Z, par exemple).
Par contre, on pourrait tout aussi bien les compter en itérant un certain nombre de fois l'apparition d'un seul et même mouton, auquel cas on discrétise l'ensemble par notre capacité à passer de l'un à l'autre de manière discontinue dans le temps (et non dans l'espace). On compte par principe de récurrence, en ajoutant 1 à la quantité retenue en mémoire. En d'autres termes, on incrémente et on ne somme pas à la manière d'une intégration.


L'enfant apprend, tout petit, à compter successivement dans le temps. Il répète machinalement la séquence "1, 2, 3, 4, 5, ..." qu'il retient en la bijectant sur ses 10 doigts, ce qui nécessite tout de même l'étape d'incrémentation. Demandez à un bambin de donner le nombre 5 en montrant tout de suite le nombre de doigts que cela fait. Il aura presque toujours (sauf s'il a une aisance particulière avec les chiffres) besoin de compter "1, 2, 3, 4 et 5" avant d'afficher le résultat, ce qui montre que notre cerveau a besoin de développer une intuition spatiale des mathématiques, qui lui permet en effet de manier des notions plus complexes.


La recherche a montré que le dénombrement 1 par 1 n'est pas efficace pour la construction du concept de nombre, et peut même être un obstacle, alors que la manipulation de nombres dans des petits calculs mentaux est bien plus efficace.
Un enfant qui a fait un travail adapté en mathématiques à la maternelle n'aura pas besoin de compter 1,2,3,4,5 pour montrer directement 5 doigts. C'est d'ailleurs un bon test pour évaluer son niveau. Et c'est aussi à mettre en lien avec des représentations visuelles comme les flash-cards.

Ce que je disais plus haut relève d'un autre niveau, où les enfants face à une histoire devront choisir une opération qui s'écrit avec un "+" ou un "-". Et là ça n'a rien à voir, car l'opération n'est pas ce qui se passe dans l'histoire, c'est un choix qui n'existe que dans la tête, et qui peut même sembler contradictoire avec l'histoire. Si tu prends le problème
"Maman a dépensé 22 euros au marché, il lui reste 31 euros quand elle rentre. Combien avait-elle avant d'aller au marché ?"
tu vois que l'opération à faire n'est pas la superposition de ce qui se passe dans l'histoire. Maman paye, mais je choisis l'addition, alors même qu'aucun rassemblement n'a eu lieu dans l'histoire, et ne pourrait pas facilement avoir lieu dans une éventuelle suite dans la vraie vie. Je disais que pour surmonter cet obstacle, il est illusoire de penser que l'enfant va mettre un de ces deux schémas entre l'histoire et son choix d'opération :
Image
Et pour cause, celui qui trouvera le bon schéma est celui qui a déjà déjoué tous les pièges qui permettent de trouver l'opération. L'identification de l'opération précède le schéma, qui n'est qu'une autre présentation de la même chose. Et encore une fois, l'expérience confirme cela : les seuls qui arrivent à résoudre le problème sont ceux qui savent se passer du schéma, ils le font sans recourir à la technique demandée, et si vraiment on insiste ils ajoutent tout en bas de tout leur écrit le schéma qui fait plaisir à l'adulte ; quant à ceux qui ne savaient pas avant, ils ne sont clairement pas plus avancés qu'avant.
Par contre ce type de schéma est très intéressant à un niveau supérieur comme arme argumentative. Mais ça reste des "batailles de bons élèves", très enrichissantes pour ces élèves-là. C'est juste que dans le même temps, ceux qui ne savent pas résoudre un problème dit simple, en choisissant une addition ou une soustraction, on intérêt à avoir un autre travail plus adapté à leur niveau.

Ca ne remet évidemment pas en cause la place des représentations dans la construction du concept de nombre.

lulu math discovering
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par lulu math discovering » 07 Sep 2015, 18:43

Misère.... Enseigner une matière est tellement plus difficile que la maîtriser ... :triste:

Astro52
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par Astro52 » 07 Sep 2015, 19:21

lulu math discovering a écrit:Misère.... Enseigner une matière est tellement plus difficile que la maîtriser ... :triste:


Et c'est peut-être seulement ça qui te permet de prendre conscience de ce que tu maîtrises vraiment.

lulu math discovering
Membre Rationnel
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par lulu math discovering » 07 Sep 2015, 19:27

Alors la vulgarisation scientifique, c'est encore un niveau au-dessus.

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Sake
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par Sake » 07 Sep 2015, 19:28

Astro52 a écrit:La recherche a montré que le dénombrement 1 par 1 n'est pas efficace pour la construction du concept de nombre, et peut même être un obstacle, alors que la manipulation de nombres dans des petits calculs mentaux est bien plus efficace.
Un enfant qui a fait un travail adapté en mathématiques à la maternelle n'aura pas besoin de compter 1,2,3,4,5 pour montrer directement 5 doigts. C'est d'ailleurs un bon test pour évaluer son niveau. Et c'est aussi à mettre en lien avec des représentations visuelles comme les flash-cards.

Ce que je disais plus haut relève d'un autre niveau, où les enfants face à une histoire devront choisir une opération qui s'écrit avec un "+" ou un "-". Et là ça n'a rien à voir, car l'opération n'est pas ce qui se passe dans l'histoire, c'est un choix qui n'existe que dans la tête, et qui peut même sembler contradictoire avec l'histoire. Si tu prends le problème
"Maman a dépensé 22 euros au marché, il lui reste 31 euros quand elle rentre. Combien avait-elle avant d'aller au marché ?"
tu vois que l'opération à faire n'est pas la superposition de ce qui se passe dans l'histoire. Maman paye, mais je choisis l'addition, alors même qu'aucun rassemblement n'a eu lieu dans l'histoire, et ne pourrait pas facilement avoir lieu dans une éventuelle suite dans la vraie vie. Je disais que pour surmonter cet obstacle, il est illusoire de penser que l'enfant va mettre un de ces deux schémas entre l'histoire et son choix d'opération :
Image
Et pour cause, celui qui trouvera le bon schéma est celui qui a déjà déjoué tous les pièges qui permettent de trouver l'opération. L'identification de l'opération précède le schéma, qui n'est qu'une autre présentation de la même chose. Et encore une fois, l'expérience confirme cela : les seuls qui arrivent à résoudre le problème sont ceux qui savent se passer du schéma, ils le font sans recourir à la technique demandée, et si vraiment on insiste ils ajoutent tout en bas de tout leur écrit le schéma qui fait plaisir à l'adulte ; quant à ceux qui ne savaient pas avant, ils ne sont clairement pas plus avancés qu'avant.
Par contre ce type de schéma est très intéressant à un niveau supérieur comme arme argumentative. Mais ça reste des "batailles de bons élèves", très enrichissantes pour ces élèves-là. C'est juste que dans le même temps, ceux qui ne savent pas résoudre un problème dit simple, en choisissant une addition ou une soustraction, on intérêt à avoir un autre travail plus adapté à leur niveau.

Ca ne remet évidemment pas en cause la place des représentations dans la construction du concept de nombre.

Sauf que ton exemple ici me semble inadapté. Quand il est confronté à ce problème, l'enfant ne se voit pas proposer le choix de l'opération. Il se voit avant tout imposer la nécessité de trouver une méthode.
La première chose qu'il se doit d'effectuer est de traduire mathématiquement l'énoncé, ce qui se fait plus ou moins inconsciemment et plus ou moins automatiquement. Un cheminement inconscient et rapide - immédiat - est l'apanage des esprits intelligents alors qu'un cheminement qui est automatique peut venir d'une répétition méthodique d'un raisonnement déjà employé auparavant. Les chercheurs en sciences cognitives s'intéressent notamment à ce qui distingue un enfant qui a la fibre mathématique de celui qui ne l'a pas, par sa capacité à constamment explorer de nouvelles pistes et ceci, toutefois, très rapidement. Cette faculté s'acquiert, elle est seulement plus ou moins développée ou innée selon les individus.

Une fois l'énoncé traduit, il doit saisir l'enjeu du problème : Que doit-on trouver ? Que doit-on montrer ?
C'est cette question qui devra le tarauder jusqu'à l'étape finale de son raisonnement, alors même qu'il n'en n'a pas encore posé les premières briques.

Si l'énoncé est d'un type nouveau, la difficulté sera bien présente, puisqu'il faut d'abord outrepasser la surprise qu'engendre la nouveauté. En ce qui concerne le point principal que je discute, est-ce que le schéma précède l'opération ou est-ce le contraire ? La question ne se pose pas si l'élève maîtrise l'analogie qui existe entre ces deux représentations du raisonnement. Le formalisme est une manière équivalente à celle qui consiste à traduire le problème en des situations visuelles et concrètes. Quand tu effectues une chronologie (possiblement inversable) entre "trouver l'opération" et "trouver le schéma de résolution", moi je vois un problème mal posé. Un élève ne pose l'opération que lorsqu'il a trouvé le schéma de résolution et jamais l'inverse, qu'il soit bon ou mauvais. Le meilleur des cas, à la limite, c'est l'élève qui trouve les deux presque instantanément, mais cela rejoint ce que je dis un peu plus haut dans ce même paragraphe : Il a maîtrisé la correspondance entre la mise en situation et le calcul. Mais le schéma... lui, il est toujours présent. Seulement il vient plus naturellement chez le doué - qui a par expérience ou par talent une bonne compréhension et une bonne intuition de la situation - et artificiellement chez celui qui a un peu plus de difficultés, car ce dernier a besoin soit de le construire sciemment (cheminer de la même manière que le doué mais un peu plus lentement) soit de faire appel à une analogie, et donc à sa mémoire.
Notons finalement que ce qui fait le doué, c'est aussi sa capacité à puiser dans une mémoire efficace, i.e. qui offre ses ressources de manière immédiate et précise. Car s'il a un cerveau capable de cheminements rapides et s'il a une bonne mémoire bien organisée, il sera sans aucun doute un logicien hors pair.
Et ceci passe par aucun autre biais que l'entraînement. L'entraînement crée les connections synaptiques de nos neurones, et c'est lui qui apporte à notre cerveau sa base de données : Notre mémoire.

lulu math discovering
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par lulu math discovering » 07 Sep 2015, 19:31

Je trouve que les messages sont beaucoup trop longs puisque c'est à peine si j'ai le courage de les lire :ptdr: et que l'on s'est beaucoup éloigné du topic non ?

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Sake
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par Sake » 07 Sep 2015, 19:38

Astro52 a écrit:Et c'est peut-être seulement ça qui te permet de prendre conscience de ce que tu maîtrises vraiment.

Tout a fait d'accord. C'est donc également un moyen de réviser !

J'avais vu quelques vidéos d'un étudiant du MIT qui expliquait qu'une manière de travailler un cours bien plus rapidement (que la moyenne) est de faire un cours... à soi-même. La pédagogie est un intermédiaire entre le fait de lire et celui de comprendre. Ceci passe entre autre par un découpage des notions compliquées en des notions plus simples, par la mise en place d'analogies faciles d'accès et d'une compréhension immédiate, par l'introduction de moyens mnémotechniques, aussi...

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Sake
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par Sake » 07 Sep 2015, 19:43

lulu math discovering a écrit:Je trouve que les messages sont beaucoup trop longs puisque c'est à peine si j'ai le courage de les lire :ptdr: et que l'on s'est beaucoup éloigné du topic non ?

Je pense que la discussion a le mérite d'exister, puisqu'elle traite de la meilleure manière de travailler et de ce qui se trouve en amont du processus de réflexion mathématique ;) C'est un conglomérat un peu chaotique qui mêle cognitique, psychologie et pédagogie, mais je trouve ça très intéressant ! Et cela rejoint surtout la préoccupation première de l'initiateur du topic qui cherche à battre en brèche les fondamentaux des mathématiques, ou quoi apprendre et surtout comment l'apprendre.

beagle
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par beagle » 07 Sep 2015, 20:13

beaucoup de bonnes choses de dites,
j'ai pas trop le temps de commenter, plus tard peut-ètre ...

Sur le schéma ce que je n'ai pas compris c'est que c'est dynamique,
le schéma essaye de scénariser l'énoncé,
il ne peut ètre global
il commence et se termine,

maman a les sous dans une patate qui s'appelle un porte-monnaie
ensuite le scénario peut se faire chronologiquement on à rebours, et c'est par tatonnement que des fois l'un est plus malin que l'autre.

Parce que cette histoire n'a aucun sens sans ensemble patatesque.
Maman va faire des courses elle paye 22 euros en carte bleue, aà la fin de la journée il lui reste 31 euros dans son porte-monnaie.
Combien avait-elle avant d'aller au marché??????
J'en sais rien elle avait combien d'assurance vie, il y avait combien sur son compté prélevé de la carte, ça fuit de partout ce problème sans ensemble.


Ensuite le problème j'ai un paquet de bonbons j'en mange 1, il reste 9 bonbons dans le paquet,
ptain c'est déjà plus facile, et c'est ce facile déjà fait qui est support de l'abstraction ...
Sachant la difficulté du c'est pareil mais c'est différent sur, qui est gouramnd en mémoire de travail,
or faible mémoire de travail est soucis principal des apprentissages ...
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

lulu math discovering
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par lulu math discovering » 07 Sep 2015, 20:13

Oui mais je voulais être sur qu'on ne perde pas 4demoyenne en route.

Astro52
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par Astro52 » 07 Sep 2015, 20:18

Sake a écrit:Sauf que ton exemple ici me semble inadapté. Quand il est confronté à ce problème, l'enfant ne se voit pas proposer le choix de l'opération. Il se voit avant tout imposer la nécessité de trouver une méthode. La première chose qu'il se doit d'effectuer est de traduire mathématiquement l'énoncé, ce qui se fait plus ou moins inconsciemment et plus ou moins automatiquement.


Ca ne correspond pas à une méthode. Déjà l'intérêt d'un tel énoncé est de casser une des fausses représentations qui causent les difficultés : croire qu'il suffit de superposer ce que se passe avec la représentation sous forme d'action d'une des 4 opérations.
Ceci fait, tu gardes un problème de ce type parmi tes problèmes de référence.
Le traitement d'un problème similaire se fera par la mise en relation intuitive du problème posé avec le problème de référence. La seule traduction sur laquelle on peut mettre des mots est le fait de chercher ce qu'on avait avant d'enlever.

Un cheminement inconscient et rapide - immédiat - est l'apanage des esprits intelligents alors qu'un cheminement qui est automatique peut venir d'une répétition méthodique d'un raisonnement déjà employé auparavant.


Les premiers liens sont toujours une forme d'intuition, qui s'appuie davantage sur le langage que l'heuristique pure, mais sans permettre pour autant de mettre des mots précis tout de suite. Je préfère parler de "pratique" que de "répétition méthodique", car à vouloir tout rationaliser des apprentissages, les adultes finissent par les empêcher.

Une fois l'énoncé traduit, il doit saisir l'enjeu du problème : Que doit-on trouver ? Que doit-on montrer ?
C'est cette question qui devra le tarauder jusqu'à l'étape finale de son raisonnement, alors même qu'il n'en n'a pas encore posé les premières briques.


C'est très efficace pour le choix entre multiplication et division. Une fois qu'on est dans cette famille, les questions suffisent à terminer le choix.
C'est plus subtil pour le choix entre addition et soustraction, qui nécessite une prise en compte plus globale de l'histoire, alors que les enfants des ont des difficultés ont tendance à surinvestir sur un mot isolément, qui ne permet pas de choisir entre addition et soustraction.

Si l'énoncé est d'un type nouveau, la difficulté sera bien présente, puisqu'il faut d'abord outrepasser la surprise qu'engendre la nouveauté.


Ca dépend. Parfois la construction du concept opératoire qui s'opère peut faire que le nouveau s'avère curieusement évident.

En ce qui concerne le point principal que je discute, est-ce que le schéma précède l'opération ou est-ce le contraire ? La question ne se pose pas si l'élève maîtrise l'analogie qui existe entre ces deux représentations du raisonnement.


Ce qui revient à dire qu'une fois qu'on sait, la question de comment on peut l'apprendre se pose tout d'un coup beaucoup moins. Evidemment.

Le formalisme est une manière équivalente à celle qui consiste à traduire le problème en des situations visuelles et concrètes.


C'est là où je ferais une différence entre dessin et schéma. Quand l'enfant va faire un dessin, ça n'a souvent pas grand chose à voir avec un schéma en rapport avec un choix d'opération.
Je me souviens d'anciennes évaluations nationales de CE2 que j'avais aidé à corriger. Il y avait comme problème un truc du genre "Papa et maman ont acheté un canapé à 253 euros et une lampe à 89 euros. Combien ont-ils dépensé ?". En dessous un cadre blanc pour que l'élève puisse faire ses recherches, calculs, dessins à la vue du correcteur. Et encore en dessous la phrase réponse à compléter du nombre voulu. Dans la pile de livret, il y a une fille qui avait écrit directement la bonne réponse dans la phrase, sans aucun calcul dans l'espace réservé, lequel contenait uniquement... le dessin d'une lampe et d'un canapé, avec un coup de crayon assez remarquable qui plus est...
Il ne faut pas se voiler la face, quand on dit aux enfants de faire un dessin pour résoudre un problème, soit ils ne le font pas, soit on obtient ce genre de dessin sans rapport avec le choix de l'opération.

Quand tu effectues une chronologie (possiblement inversable) entre "trouver l'opération" et "trouver le schéma de résolution", moi je vois un problème mal posé. Un élève ne pose l'opération que lorsqu'il a trouvé le schéma de résolution et jamais l'inverse, qu'il soit bon ou mauvais.


Le problème est un problème normal, en français, rien ne permet de dire qu'il soit "mal posé".
On ne peut parler de schéma de résolution que dans l'étape suivante où on apprend à traiter un problème en plusieurs étapes, avec plusieurs opérations successives. Là on est vraiment obligé de construire une trame avant de calculer, où on distingue ce que obtient à chaque étape et par quelle opération à chaque fois.

Mais quand il n'y a qu'une étape, il n'y a rien qui s'appellerait schéma entre l'histoire et l'opération. Il y a un lien qui s'opère entre la situation et un répertoire de situations déjà rencontrées, grâce au concept de l'opération lui-même. L'abstraction que constitue l'opération par elle-même est la seule passerelle, et vouloir y associer un schéma à ce stade ne peut produire qu'un doublon inutile, et qui ne fera pas plus passerelle que ce qui existe déjà.

Le meilleur des cas, à la limite, c'est l'élève qui trouve les deux presque instantanément, mais cela rejoint ce que je dis un peu plus haut dans ce même paragraphe : Il a maîtrisé la correspondance entre la mise en situation et le calcul.


Ce sont ceux qui savent déjà qui trouvent les deux en même temps. Quand tu travailles avec des élèves en grande difficulté, il y a un gros travail d'organisation qui prend du temps. Car l'élève a l'intuition de plusieurs opérations en même temps, qui ont toutes un fondement, mais encore faut-il remettre chacune à la bonne place.

Mais le schéma... lui, il est toujours présent.


Sur le choix d'une opération unique, il n'y a pas de schéma autre que l'opération elle-même. Donc sauf à rebaptiser "schéma" ce qui s'appelle déjà "opération", il n'y a pas de schéma.

Seulement il vient plus naturellement chez le doué - qui a par expérience ou par talent une bonne compréhension et une bonne intuition de la situation - et artificiellement chez celui qui a un peu plus de difficultés, car ce dernier a besoin soit de le construire sciemment (cheminer de la même manière que le doué mais un peu plus lentement) soit de faire appel à une analogie, et donc à sa mémoire.


Au début, c'est totalement analogique et pas du tout sciemment. Le sciemment, c'est ce que le doué dit pour justifier de ce qu'il a fait, souvent autrement.

Notons finalement que ce qui fait le doué, c'est aussi sa capacité à puiser dans une mémoire efficace, i.e. qui offre ses ressources de manière immédiate et précise. Car s'il a un cerveau capable de cheminements rapides et s'il a une bonne mémoire bien organisée, il sera sans aucun doute un logicien hors pair.
Et ceci passe par aucun autre biais que l'entraînement. L'entraînement crée les connections synaptiques de nos neurones, et c'est lui qui apporte à notre cerveau sa base de données : Notre mémoire.


Effectivement, c'est la pratique qui est centrale, et c'est souvent ce qui manque à l'école. J'ai déjà vu des classes où la résolution de problèmes s'enseignait en faisant des problèmes d'addition le lundi, des problèmes de soustraction le mardi, des problèmes de multiplication le jeudi... et finalement les élèves n'étaient jamais en situation de pratiquer des choix, il faisait une soustraction parce que c'était le jour des soustractions. Ils étaient censés apprendre à faire des choix en n'étant jamais en situation de choisir.
L'enseignement de théories formelles inapplicables prend aussi du temps aux dépens du temps de pratique.

beagle
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par beagle » 07 Sep 2015, 20:18

ensuite abstraction, abstraction,
mais mon chien fait la différence entre addition et soustraction.C'est physique!

Mon chien a 3 os, toi tu lui enlèves un os, ben t'as une main en moins

Mon chien a trois os, toi tu lui donne un os de plus, situation déjà plus rassurante pour toi.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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