Polynômes orthogonaux

par **Ndz33** » 21 Jan 2014, 23:04

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un connais une famille de polynômes orthogonaux avec le produit scalaire défini comme :

?

Je dois les générer jusqu'à un degré quelconque.

Merci d'avance !

par **Skullkid** » 21 Jan 2014, 23:41

Bonsoir, à ma connaissance cette famille de polynômes n'a pas de nom mais tu peux par exemple la construire jusqu'à un degré quelconque en orthonormalisant la base canonique (1,X,X²,...) en utilisant Gram-Schmidt.

par **Ndz33** » 21 Jan 2014, 23:59

Ah j'espérais que la famille existe déjà quelque part pour gagner un peu de temps... Mais merci pour ta réponse !

par **Maxmau** » 22 Jan 2014, 11:17

Ndz33 a écrit:Ah j'espérais que la famille existe déjà quelque part pour gagner un peu de temps... Mais merci pour ta réponse !

Bj
je crois que ce sont les polynômes de Legendre

par **Ben314** » 22 Jan 2014, 12:35

Maxmau a écrit:Bj
je crois que ce sont les polynômes de Legendre

C'est bien ça à un détail prés : normalement, les polynômes de legendres sont orthogonaux pour le produit scalaire

donc il y a un petit changement de variables à faire dans le cas du produit scalaire

(il suffit de faire un changement de variable affine qui envoie [-1,1] sur [0,1])

par **mrif** » 22 Jan 2014, 12:37

Maxmau a écrit:Bj
je crois que ce sont les polynômes de Legendre

Les polynomes de Legendre ne sont pas orthogonaux pour ce produit scalaire.
Par exemple le produit scalaire des 2 premiers est égal 1/2.

Remarque: les polynomes de Legendre sont soit pairs soi impairs (en tant que fonction), donc le produit scalaire de 2 polynomes différents et de même parité, est nul. On peut dire donc que 2 polynomes différents de Legendre de même parité sont orthogonaux pour le produit scalaire défini dans cet exo.

par **Maxmau** » 22 Jan 2014, 17:25

Ben314 a écrit:C'est bien ça à un détail prés : normalement, les polynômes de legendres sont orthogonaux pour le produit scalaire donc il y a un petit changement de variables à faire dans le cas du produit scalaire (il suffit de faire un changement de variable affine qui envoie [-1,1] sur [0,1])

Effectivement
merci d'avoir rectifié

par **Ndz33** » 24 Jan 2014, 02:15

Merci pour toutes ces réponses !

par **Ndz33** » 24 Jan 2014, 02:17

mrif a écrit:Remarque: les polynomes de Legendre sont soit pairs soi impairs (en tant que fonction), donc le produit scalaire de 2 polynomes différents et de même parité, est nul. On peut dire donc que 2 polynomes différents de Legendre de même parité sont orthogonaux pour le produit scalaire défini dans cet exo.

Je vais vérifier ça, si c'est vrai ça facilite pas mal le boulot, merci !

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