par aymanemaysae » 06 Jan 2014, 19:12
Merci pour l'aide, quant au troisième exercice, ma proposition est comme suit:
I-1 : 1 on a n/m = [n/m], donc:
n = m [n/m] -> PGDC(m ;n) = m.
On a aussi m + n mn + 2 (l^2 + l) = m + [n/m] m m^2 [n/m] + [n/m] m (m -1) = m,
donc PGDC(m ;n) = m + n mn + 2 (l^2 + l) = m.
III-2 : On a 00 et m-r[m/r]=0 et m/r > l , donc Sigma(k=1,m-1, [k n/m]) = Sigma(k=1,m-1, [k (m[n/m]+r)/m]) = Sigma(k=1,m-1,k[n/m] + [[k r/m]]) = [n/m] Sigma(k=1,m-1,k) + Sigma(k=1,m-1,[k r/m]) = [n/m] l(l+1)/2 + Sigma(k=1,m-1,[k r/m]).
On remarque que n = m[n/m]+r : division euclidienne de n par m et par conséquent 0 l, qui sont les conditions de I-2 pour m et r, donc Sigma(k=1,m-1,[k r/m]) = 0, donc Sigma(k=1,m-1, [k n/m]) = [n/m] l(l+1)/2, donc PGCD(m;n) = m + n - m n + 2 [n/m] l(l+1)/2.
III-3 : On a 00 et m-r[m/r] >0 et m/r + 1 > l , donc comme pour III-2 on a Sigma(k=1,m-1, [k n/m]) = [n/m] l(l+1)/2 + Sigma(k=1,m-1,[k r/m]), et comme 00 et m/r +1> l qui sont les conditions de I-3 pour m et r, donc Sigma(k=1,m-1,[k r/m]) = 0, donc Sigma(k=1,m-1, [k n/m]) = [n/m] l(l+1)/2, donc PGCD(m;n) = m + n - m n + 2 [n/m] l(l+1)/2.
Avec les formules que avez eu l'obligeance de m'envoyer, je crois que la rédaction des solutions des exercices I et II est plus élégante. Je vous serai aussi reconnaissant si vous m'expliquiez comment insérer un fichier image (extension png ou autres) ou comment insérer des équations mathématiques saisies sous Word : j'ai essayé d'utiliser les options (insérer une image et TEX),mais en vain, peut-être à cause d'une mauvaise manipulation.
Merci.