Une approximation pratique

[vanhoa]

bonjour!

Voici une énigme sur le poker. Au poker (type Texas Holdem), on utilise un jeu de 52 cartes.

Au début d'une partie, chaque joueur reçoit 2 cartes. Ensuite un premier tour de mise est effectue. puis on met sur la table 3 cartes faces découvertes, puis un second tour de mise est effectue, puis la 4eme carte est posée face découverte, un 3eme tour de mise est effectue, puis vient la 5eme et dernière carte, puis un dernier tour de mise.

Pour cette énigme, aucune connaissance particulière sur le poker n'est nécessaire.

Au cours d'une partie, nous sommes 6 joueurs autour de la table. nous avons chacun 2 cartes en main. Nous ne pouvons pas voir les 2 cartes des autres joueurs, mais seulement les notres.

Les 3 premières cartes, celles qui sont communes, sont déjà faces découvertes sur la table. A ce stade, il manque les 2 dernières cartes.
je regarde mes cartes et je me dis qu'il y a 7 cartes qui m’intéressent, 7 cartes que j'aimerais voir apparaître.
Si au moins l'une de ces 7 cartes apparaît dans les 2 cartes restantes, je suis certain de gagner la partie!

Afin d’évaluer mon pourcentage de chance de gagner, je compte le nombre de cartes qui m’intéressent et je multiplie par 4.
Donc ici, j'aurais environ 28% (4x7) de chance de gagner! Ceci est une approximation, mais bien utile pour évaluer rapidement ses chances de toucher ses cartes!

la question est la suivante: dans cette même situation, c'est a dire lorsqu'il manque seulement les 2 dernieres cartes, pourquoi doit-on multiplier le nombre de cartes qui nous intéressent (que l'on peut noter N) par 4 afin de connaitre le pourcentage de chance de toucher au moins l'une de ces N cartes?
Cette approximation est vraie à + ou - 4% près jusqu’à quel nombre de cartes N?

[Archytas]

C'est parce que le jeu comte 4 carte de chaque (carreau, coeur, trefle et pique), nan ? C'est comme ça que je l'ai compris mais c'est pas très logique parce que dans le cas de la "couleur" c'est complétement différent. Toutes les cartes ne nous interesse pas mais seulement celles d'une couleur donné donc le 4 n'est pas valable. J'espère que j'ai répondu à ta question sinon bon courage !

[vanhoa]

C'est parce que le jeu comte 4 carte de chaque (carreau, coeur, trefle et pique), nan ? C'est comme ça que je l'ai compris mais c'est pas très logique parce que dans le cas de la "couleur" c'est complétement différent. Toutes les cartes ne nous interesse pas mais seulement celles d'une couleur donné donc le 4 n'est pas valable. J'espère que j'ai répondu à ta question sinon bon courage !

En fait je connais la solution :we:
Pour ta reponse, ce n'est pas la solution attendue :lol3:
on peut l'expliquer avec un calcul de proba!

[blabla189]

bonsoir,
alors alors :p
n cartes nous intéressent on en connait 5 sur 52 il en reste 47 d'inconnues
la probabilité de voire au moins une de ses n cartes sortir en 2 tirages est de
1-((47-n)/47)^2=1-(1-n/47)^2=2n/47-(n/47)^2
si on peut négliger (n/47)^2 devant 2n/47 on a bien 4n/94 soit environs 4n% de chances de voire une des cartes qui nous intéressent sortir.

apres pour la question des 4% d'erreur, en prenant 4n/100 au lieu de l'expression entiere, on commet une erreur de 12n/4700-(n/47)^2 qui doit ( en valeur absolue ) etre inferieur a 4%
en étudiant la fonction x->12x/4700-(x/47)^2
on trouve x = 9,88 donc environs 10 pour n

c'est ca c'est ca???

[vanhoa]

bonsoir,
alors alors :p
n cartes nous intéressent on en connait 5 sur 52 il en reste 47 d'inconnues
la probabilité de voire au moins une de ses n cartes sortir en 2 tirages est de
1-((47-n)/47)^2=1-(1-n/47)^2=2n/47-(n/47)^2
si on peut négliger (n/47)^2 devant 2n/47 on a bien 4n/94 soit environs 4n% de chances de voire une des cartes qui nous intéressent sortir.

apres pour la question des 4% d'erreur, en prenant 4n/100 au lieu de l'expression entiere, on commet une erreur de 12n/4700-(n/47)^2 qui doit ( en valeur absolue ) etre inferieur a 4%
en étudiant la fonction x->12x/4700-(x/47)^2
on trouve x = 9,88 donc environs 10 pour n

c'est ca c'est ca???

Salut!

Il y a une erreur dans ton calcul. Peux tu me dire comment tu as raisonne pour arriver a 1-((47-n)/47)^2?

petit indice pour savoir si ton calcul est bon, l'approximation (quand on multiplie simplement par 4) sous estime la proba reelle pour un nombre de cartes faible, puis la sur evalue pour un nombre eleve.

quand je dis cette approximation est vraie à + ou - 4% près jusqu'a quel nombre de cartes N je veux dire, jusqu'a quel nombre de carte N la différence en pourcentage entre la véritable stat et cette approximation est strictement inférieure a 4%

[blabla189]

Salut!

Il y a une erreur dans ton calcul. Peux tu me dire comment tu as raisonne pour arriver a 1-((47-n)/47)^2?

petit indice pour savoir si ton calcul est bon, l'approximation (quand on multiplie simplement par 4) sous estime la proba reelle pour un nombre de cartes faible, puis la sur evalue pour un nombre eleve.

quand je dis cette approximation est vraie à + ou - 4% près jusqu'a quel nombre de cartes N je veux dire, jusqu'a quel nombre de carte N la différence en pourcentage entre la véritable stat et cette approximation est strictement inférieure a 4%

bonjour

alors pour le raisonnement :
on connait 5 cartes sur 52, il en reste donc 47 d'inconnues. sur ces 47 il y en a n qui nous intéressent.
"la probabilité que sur les 2 tirages suivant AU MOINS une de ces n cartes sorte" c'est 1-"la probabilité qu'aucune de ces cartes ne sorte"
j'ai dit que la probabilité qu'aucune de ces cartes ne sorte est de ((47-n)/47)^2 ce qui est faux et je m'en rends compte maintenant car cette probabilité est de (47-n)/47*(46-n)/46 j'avais oublié de tenir compte de la carte tirée au premier tirage.

donc au final la probabilité P qui nous intéresse vaut 1-(47-n)(46-n)/(47*46)=((46+47)n-n^2)/(46*47)

avec cette nouvelle valeur corrigée je refais les meme raisonnement que la premiere fois: je néglige les termes en n^2 donc P=(46+47)n/(46*47)=0,043*n environs soit à peu près 4n%

maintenant je fais en sorte que l'erreur entre la vraie valeur P et l'approx P=4n% soit inférieure a 4%
pour cela j'étudie la fonction x -> ((46+47)x-x^2)/(46*47)-4x/100 je trouve effectivement qu'elle est croissante puis décroissante et qu'elle n'est supérieure en valeur absolue à 0,04 que pour x supérieur à 13,12 donc tant que n est inférieur à 14 l'apport est valable.

[vanhoa]

bonjour

alors pour le raisonnement :
on connait 5 cartes sur 52, il en reste donc 47 d'inconnues. sur ces 47 il y en a n qui nous intéressent.
"la probabilité que sur les 2 tirages suivant AU MOINS une de ces n cartes sorte" c'est 1-"la probabilité qu'aucune de ces cartes ne sorte"
j'ai dit que la probabilité qu'aucune de ces cartes ne sorte est de ((47-n)/47)^2 ce qui est faux et je m'en rends compte maintenant car cette probabilité est de (47-n)/47*(46-n)/46 j'avais oublié de tenir compte de la carte tirée au premier tirage.

donc au final la probabilité P qui nous intéresse vaut 1-(47-n)(46-n)/(47*46)=((46+47)n-n^2)/(46*47)

avec cette nouvelle valeur corrigée je refais les meme raisonnement que la premiere fois: je néglige les termes en n^2 donc P=(46+47)n/(46*47)=0,043*n environs soit à peu près 4n%

maintenant je fais en sorte que l'erreur entre la vraie valeur P et l'approx P=4n% soit inférieure a 4%
pour cela j'étudie la fonction x -> ((46+47)x-x^2)/(46*47)-4x/100 je trouve effectivement qu'elle est croissante puis décroissante et qu'elle n'est supérieure en valeur absolue à 0,04 que pour x supérieur à 13,12 donc tant que n est inférieur à 14 l'apport est valable.

C'est tout a fait ca! :++:

en derivant par rapport a n, on obtient:
0,043016 - 2n/(46*47)
si la veritable probailite etait reellement 4 fois le nombre de carte n (soit proba = 0,04n), en derivant on aurait 0,04.
On remarque facilement que 0,043016 - 2n/(46*47) est environ = a 0,04 quant n est petit. Plus n grandit, plus l'ecart entre la vraie proba et l'approximation se creuse!