Logique

[Dante0]

Bonjour,

Comment montrer que (non A ou B) <=> (A implique B) ?

Merci :)

[chan79]

Bonjour,

Comment montrer que (non A ou B) (A implique B) ?

Merci

(A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai
A implique B est donc vrai dans le cas contraire soit si (non A ou B) est vrai
Tu peux aussi faire une table de vérité

[Losange]

La technique standard pour prouver des propositions de ce type est d'écrire les tables de vérité de "non A ou B" puis de "A implique B".
Si les tables sont les mêmes, c'est que les deux formules sont bien équivalentes.

[Dante0]

(A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai
A implique B est donc vrai dans le cas contraire soit si (non A ou B) est vrai
Tu peux aussi faire une table de vérité

J'ai fait une recherche sur les table de vérité, je ne sais pas comment les utiliser.
Comment trouves tu ceci :

(A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai

Il y'a des propriétés ?

[Losange]

J'ai fait une recherche sur les table de vérité, je ne sais pas comment les utiliser.

Une table de vérité est un tableau qui résume TOUTES les possibilités.

Tu considères les deux cas "A vrai" et "A faux". Pour chacun de ces deux cas, tu considères les deux sous-cas "B vrai" et "B faux". Ceci fait 4 cas au total.
Pour chacun de ces 4 cas, tu regardes si A et non B est vrai ou pas (c'est assez facile car tu sais si A est vrai ou pas et tu sais si B est vrai ou pas).


On présente en général cette étude exhaustive de cas sous la forme d'un tableau appelé "Table de vérité".

[Dante0]

Une table de vérité est un tableau qui résume TOUTES les possibilités.

Tu considères les deux cas "A vrai" et "A faux". Pour chacun de ces deux cas, tu considères les deux sous-cas "B vrai" et "B faux". Ceci fait 4 cas au total.
Pour chacun de ces 4 cas, tu regardes si A et non B est vrai ou pas (c'est assez facile car tu sais si A est vrai ou pas et tu sais si B est vrai ou pas).


On présente en général cette étude exhaustive de cas sous la forme d'un tableau appelé "Table de vérité".

Je ne comprends pas, c'est quoi A et B ici ? Il faut préciser ce qu'ils représentent non ? Comment est-ce qu'on peut dire que l'un implique l'autre ou non sinon ? Je vois pas trop la logique de cet exercice...

[Sylviel]

Bonjour,

as-tu suivi un cours de logique ?
Sinon faire cet exercice va être difficile...

A et B sont deux propositions, qui peuvent être vraie ou fausse. Il n'y a pas besoin de les expliciter.
Tout comme en arithmétique n et m sont des entiers, pas besoin de les expliciter pour écrire des relations qui sont toujours vraies.

[Dante0]

Bonjour,

as-tu suivi un cours de logique ?
Sinon faire cet exercice va être difficile...

A et B sont deux propositions, qui peuvent être vraie ou fausse. Il n'y a pas besoin de les expliciter.
Tout comme en arithmétique n et m sont des entiers, pas besoin de les expliciter pour écrire des relations qui sont toujours vraies.

Oui j'ai eu un "cours magistral" de logique, mais on a juste défini les quantificateurs, les symboles.
Et on a vu des exemple du type :

A : x^2 +1 = -1
Et la on dit pour tout x de R, non A.
Mais sans exemple je vois pas comment on poserait (A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai, je vois pas la logique derrière..

[chan79]

Oui j'ai eu un "cours magistral" de logique, mais on a juste défini les quantificateurs, les symboles.
Et on a vu des exemple du type :

A : x^2 +1 = -1
Et la on dit pour tout x de R, non A.
Mais sans exemple je vois pas comment on poserait (A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai, je vois pas la logique derrière..

"S'il pleut, je prends mon parapluie"
Ceci sera faux s'il pleut et que je n'ai pas pris mon parapluie
A: il pleut
B: je prends mon parapluie

[Sylviel]

ça m'étonne qu'on te demande de faire ce genre d'exos si tu n'as jamais vu de table de vérité.

Pour répondre à ta question :
A => B signifie seulement que
"si A est vraie alors B est vraie". Et rien d'autres !
Donc le seul moyen pour que "A => B" soit faux est d'avoir
A vrai ........... (si A est faux tu ne peux rien dire de B...)
et B faux ....... (si B est vraie alors A=>B est vérifiée)

P.S : la page de wiki sur les tables de vérité
http://fr.wikipedia.org/wiki/Table_de_v%C3%A9rit%C3%A9

[Dante0]

ça m'étonne qu'on te demande de faire ce genre d'exos si tu n'as jamais vu de table de vérité.

Pour répondre à ta question :
A => B signifie seulement que
"si A est vraie alors B est vraie". Et rien d'autres !
Donc le seul moyen pour que "A => B" soit faux est d'avoir
A vrai ........... (si A est faux tu ne peux rien dire de B...)
et B faux ....... (si B est vraie alors A=>B est vérifiée)

P.S : la page de wiki sur les tables de vérité
http://fr.wikipedia.org/wiki/Table_de_v%C3%A9rit%C3%A9

Comment B peut etre faux puis vraie ? :mur:

[Sylviel]

C'est un raisonnement abstrait.

Quand tu veux démontrer que V2 est irrationnel tu raisonne par l'absurde en disant supposons que
V2 = p/q, puis tu fais
si p est pair ...
si p est impair ...

Donc p est "pair pui impair" tout comme B est "vraie puis fausse".

De plus, dans ce que j'ai expliqué je n'ai fait que montrer l'alternative pour t'expliquer le lien entre implication et (A ET nonB)

[Losange]

Je ne comprends pas, c'est quoi A et B ici ? Il faut préciser ce qu'ils représentent non ? Comment est-ce qu'on peut dire que l'un implique l'autre ou non sinon ? Je vois pas trop la logique de cet exercice...

Non, il n'est pas besoin de préciser ce que A et B représentent, car quoique A et B représente, le résultat sera toujours vrai.

C'est le principe de la logique : on veut des résultats qui ne dépendent pas de la nature de A et B.

[Ben314]

Comment montrer que (non A ou B) (A implique B) ?

Comme (presque) toujours, pour pouvoir démontrer un truc, ben il faut commencer par se poser la question des définitions des objets apparaissant dans le "truc".
C'est quoi pour toi les définitions de "non(X)" , de "X et Y" , de "X => Y" ?
Trés souvent, on définit ces connecteurs logiques à l'aide de tables de vérité, mais on peut bien sûr les définir autrement.

Ensuite, la preuve de l'équivalence "(non A ou B) (A implique B)" va évidement dépendre des définition que l'on a donné à ces connecteurs logiques. Par exemple, dans certains livre, l'équivalence que l'on te demande de démontrer est vrai par définition du connecteur "implique" donc, dans ce cas, il n'y a absolument rien à démontrer !

[Dante0]

Comme (presque) toujours, pour pouvoir démontrer un truc, ben il faut commencer par se poser la question des définitions des objets apparaissant dans le "truc".
C'est quoi pour toi les définitions de "non(X)" , de "X et Y" , de "X => Y" ?
Trés souvent, on définit ces connecteurs logiques à l'aide de tables de vérité, mais on peut bien sûr les définir autrement.

Ensuite, la preuve de l'équivalence "(non A ou B) (A implique B)" va évidement dépendre des définition que l'on a donné à ces connecteurs logiques. Par exemple, dans certains livre, l'équivalence que l'on te demande de démontrer est vrai par définition du connecteur "implique" donc, dans ce cas, il n'y a absolument rien à démontrer !

NonX ca veut dire que X est fausse
X et Y veut dire que X et Y sont vraie
X=> Y veut dire que si X vraie alors Y aussi et si X fausse alors Y aussi (pas sur pour le second cas)

Si on revient à la toute première réponse de chan79 :
"(A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai"
Cela se lit : si A est vraie et que B est fausse alors A n'implique pas B ?

[Sylviel]

X=> Y veut dire que si X vraie alors Y aussi et si X fausse alors Y aussi (pas sur pour le second cas)

Non ce n'est pas ça :marteau:
Comme je te l'ai redis (hier 11h43):
X=> Y veut dire que si X vraie alors Y aussi. Rien d'autres.
Si X est fausse alors on ne peut rien dire !

Exemple :
X : " le nombre n est un entier pair"
Y : " le nombre n est un entier"
Si X vraie alors n est un entier pair donc en particulier un entier.
Si X faux alors n peut être un entier impair (Y vraie) ou pas un entier (Y faux).

[Dante0]

Non ce n'est pas ça :marteau:
Comme je te l'ai redis (hier 11h43):
X=> Y veut dire que si X vraie alors Y aussi. Rien d'autres.
Si X est fausse alors on ne peut rien dire !

Exemple :
X : " le nombre n est un entier pair"
Y : " le nombre n est un entier"
Si X vraie alors n est un entier pair donc en particulier un entier.
Si X faux alors n peut être un entier impair (Y vraie) ou pas un entier (Y faux).

D'accord, du coup :
"(A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai"
Cela se lit : si A est vraie et que B est fausse alors A n'implique pas B ?

[Ben314]

D'accord, du coup :
"(A implique B) est faux si (A et nonB) est vrai"
Cela se lit : si A est vraie et que B est fausse alors A n'implique pas B ?

Oui, c'est bien ça.
Dans la vie "de tout les jours", une implication (si... alors...) sous entend fréquement une équivalence.
Par exemple, il me semble que la phrase "Demain, s'il fait beau, alors j'irais à la picine" est comprise par beaucoup de personnes comme s'il s'agisait d'une équivalence, c'est à dire qu'il est sous entendu que demain, s'il ne fait pas beau, je n'irais pas à la picine.
En math., il n'y a pas de "sous entendu" donc la phrase en question ne donne aucune information concernant ce que l'on va faire s'il ne fait pas beau et, en particulier, n'exclus pas qu'on aille quand même à la picine s'il ne fait pas beau.

Pour donner un exemple classique (et mnémotechnique) d'une implication mathématiquement vrai, il suffit de regarder l'affirmation "Si x>3 alors x>0" qui est vrai pour tout x réel :
- Si x3" et "x>0" sont fausses et l'affirmation "Si x>3 alors x>0" est vrai
- Si 03" est fausse, "x>0" es :marteau: t vraie et l'affirmation "Si x>3 alors x>0" est vrai
- Si x>3 alors les deux affirmations "x>3" et "x>0" sont vraies et l'affirmation "Si x>3 alors x>0" est vrai
La constatation, c'est que le seul cas qui ne se produit jamais, c'est "x>3" vraie et "x>0" faux qui correspond au seul cas où une implication P=>Q est fausse, c'est à dire au cas où P vraie et Q fausse.