Paradoxe ?

[fransgilles]

Bonjour à tous,

Soit deux protagonistes qui débatent sur une histoire de mur:

L'un affirme que si l'on se met face à un mur, et qu'on avance de la moitié de la distance qui nous sépare de ce mur, même en répétant l'opération une infinité de fois, on n'atteindra jamais ce mur.
L'autre rétorque qu'étant donné que la somme des puissances de 1/2 est convergeante, on atteindra forcément ce mur.

Lequel des deux a, selon vous, raison ?

[nodjim]

Aïe ! Je sens que cette question va faire débat...

[beagle]

Je suis d'ac pour bordéliser le problème nodjim,
parce que pour commencer et à titre personnel j'ai horreur d'avoir une infinité de trucs à faire, cela me décourage.
Alors tempsérisons le problème.

Soit t1/2 le temps pour arriver à la première moitié de la distance jusqu'au mur:
cas numéro 1, le temps mis pour faire une certaine distance restant à parcourir est proportionnel à t1/2.donc la prochaine demie parcourue le sera dans t1/2 divisé par deux.
Je suis assez optimiste et volontaire pour aller au mur (mettre les mains sur la tète?, euh pourquoi j'ai dit oui, moi!)

Soit t1/2 est une constante de chaque demie (distance) à faire,
bon on est d'accord il y a l'infini pour y arriver,
mais un futur fini est-il atteint dans l'infini?My god!
Ouh, là je ne suis plus volontaire moi.

Bon, c'est quoi la différence avec les paradoxes de Zénon, nodjim?

[nodjim]

Le paradoxe de Zénon, qui est le paradoxe du rattrapage impossible, est tout autre, car le temps intervient très fortement dans celui ci: le temps pour combler un espace diminue proportionnellement avec cet espace, à vitesse constante. Or le sable du sablier s'écoule d'une façon constante, lui.

Ici, la notion de temps n'intervient pas, on demande juste si on peut atteindre la limite ou pas. On donne tout le temps qu'on veut.

[beagle]

surprenant, le temps intervient bien, c'est moi le maitre du temps,
c'est moi qui ai défini deux situations différentes:
-la première situation que j'ai décrite est assez habituelle, et d'expérience je me sens capable d'aller droit dans le mur!
-mais j'aime bien la deuxième situation, est-ce que la convergence des puissances de 1/2 sont suffisantes si le temps augmente pour une mème distance ...

[beagle]

il y a plusieurs paradoxes de Zénon,
dont celui-ci, ref wikipedia:
Zénon se tient à huit mètres d'un arbre, tenant une pierre. Il lance sa pierre dans la direction de l'arbre. Avant que le caillou puisse atteindre l'arbre, il doit traverser la première moitié des huit mètres. Il faut un certain temps, non nul, à cette pierre pour se déplacer sur cette distance. Ensuite, il lui reste encore quatre mètres à parcourir, dont elle accomplit d'abord la moitié, deux mètres, ce qui lui prend un certain temps. Puis la pierre avance d'un mètre de plus, progresse après d'un demi-mètre et encore d'un quart, et ainsi de suite ad infinitum et à chaque fois avec un temps non nul. Zénon en conclut que la pierre ne pourra pas frapper l'arbre, puisqu'il faudrait pour cela que soit franchie effectivement une série infinie d'étapes, ce qui est impossible. Le paradoxe se résout en soutenant que le mouvement est continu ; le fait qu'il soit divisible à l'infini ne le rend pas impossible pour autant. De plus, en analyse moderne, le paradoxe est résolu en utilisant fondamentalement le fait qu'une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini.

c'est pas la mème chose si on lance beagle contre le mur?
Il parcourt d'abord la moitié, puis ...

[fransgilles]

le fait qu'il soit divisible à l'infini ne le rend pas impossible pour autant.

Donc les deux protagonistes ont raison ? Je me pose la question suite à un exercice de math qui me demandais de calculer le volume de révolution des fonctions

f(x)=1/e^x
g(x)= 1/(x+1)
autour de l'axe Ox
et bornées de 0 à l'inf

Les deux graphes ne se croisant qu'en (0;1) uniquement, le fait de calculer le volume engendré par la révolution des deux fonctions me paraissait être une abération, puisque f(x) tends plus vite vers 0 que g(x). Le volume devrait donc être "infini" puisqu'il ne s'arrête jamais de grandir (même si il grandit très très très très lentement).

Seulement, la logique mathématique veuille qu'étant donné que leur limite vaut 0 en l'infini, le volume recherché vaut pi/2, et basta on en reparle plus.

J'y voyait le même principe que le mur, étant donné que peu importe la valeur de x, g(x) ne recroisera jamais, au grand jamais f(x).
Ce paradoxe de volume a soulevé toute une série de questions dans ma petite tête.

Si ça vous intéresse, voici la conversation que j'ai eût sur un autre site avec un proffesseur de mathématique suite à l'exercice énoncé ci-dessus

En tout cas merci pour ces précisions vis-à-vis du paradoxe de Zénon, je ne le connaissait pas.

[beagle]

Bonjour fransgilles,
le problème pour les humains c'est que d'appréhender ce qui se passe à la fin de l'infini c'est assez perturbant et sources d'embrouilles.
Je trouve que cela ressemble beaucoup aux diverses discussions que nous avons eu ici sur ce forum sur le 0,999... avec un infinité de 9 est le 1,
ce n'est pas presque le 1, c'est le 1 dans une autre écriture.
Si tu te mets à dire en allant vers l'infini pour placer tous mes 9 je ne fais QUE tendre vers le 1, sans jamais y arriver, tu as le sentiment que c'est PRESQUE 1, mais tu n'arrives pas à te convaincre que c'est 1,
mais on parle avec un nombre de 9 jamais fini ce qui est humainement difficile.
Alors on peut prendre le problème à l'envers, si 0,999... est presque 1 mais pas 1 vraiment,
c'est que je peux trouver entre ce presque 1 et le 1, un ou d'autres nombres, ne serait-ce que le (presque 1 + 1)/2,
oui sauf que pour aller chercher ce nombre entre les deux, il faut aller au bout de l'infini des 9,
et qu'il n'y a pas de bout de l'infini de 9.
Donc je trouve que cela ressemble à aller dans le mur, ce n'est pas que l'on tend à aller vers le mur, c'est qu'il n'y a rien entre le mur et l'infini où tu vas, donc tu y es (au mur).

Enfin je vois cela comme cela, mais d'autres plus calés te diront des trucs peut-ètre plus vrais.

[fransgilles]

Bonjour fransgilles,
le problème pour les humains c'est que d'appréhender ce qui se passe à la fin de l'infini c'est assez perturbant et sources d'embrouilles.
Je trouve que cela ressemble beaucoup aux diverses discussions que nous avons eu ici sur ce forum sur le 0,999... avec un infinité de 9 est le 1,
ce n'est pas presque le 1, c'est le 1 dans une autre écriture.
Si tu te mets à dire en allant vers l'infini pour placer tous mes 9 je ne fais QUE tendre vers le 1, sans jamais y arriver, tu as le sentiment que c'est PRESQUE 1, mais tu n'arrives pas à te convaincre que c'est 1,
mais on parle avec un nombre de 9 jamais fini ce qui est humainement difficile.
Alors on peut prendre le problème à l'envers, si 0,999... est presque 1 mais pas 1 vraiment,
c'est que je peux trouver entre ce presque 1 et le 1, un ou d'autres nombres, ne serait-ce que le (presque 1 + 1)/2,
oui sauf que pour aller chercher ce nombre entre les deux, il faut aller au bout de l'infini des 9,
et qu'il n'y a pas de bout de l'infini de 9.
Donc je trouve que cela ressemble à aller dans le mur, ce n'est pas que l'on tend à aller vers le mur, c'est qu'il n'y a rien entre le mur et l'infini où tu vas, donc tu y es (au mur).

Enfin je vois cela comme cela, mais d'autres plus calés te diront des trucs peut-ètre plus vrais.

Je vois très bien ce que tu veux dire, c'est un peu pour ça qu'on nous apprends les limites assez tôt dans le système scolaire. Pour eviter qu'on se pose ces questions sans réponse. En fait ce qui me chatouille c'est que j'ai cherché (un peu) sur internet une définition de l'infini, pour me faire une idée plus claire de ce que ce genre de problème soulève comme question, cependant je n'ai pas trouvé de définition claire. J'ai entendu parlé de différents infinis, certains plus grand que d'autre , etc... mais aucune définition concrète. Et du coup ma question reste un peu sans réponse. Mathématiquement, je sais comment résoudre ce genre de problèmes, mais philosophiquement parlant, ils me paraissent érronés voir impossible. Pour l'histoire du mur, on peut tout à fait affirmer qu'on atteindra le mur en l'infini, pour le volume des 2 fonctions, on peut aussi tout à fait affirmer qu'elle se croiseront en l'infini (inf;0).


Mais peut-être vaudrait-il mieux définir l'infini avant d'affirmer de telles supositions ?
Si vous avez une bonne définition sous la main, je suis prenneur!

Merci d'avance

[Sylviel]

Il n'y a pas "une définition de l'infini". Il y en a plusieurs (et il y a plusieurs infini) suivant de quoi on parle.

Et puis souvent on parle de "limite quand x tends vers l'infini de f(x)" par exemple, ce qui as une définition très propre. Mais la définition est donnée pour le bloc "limite de ..." et non pas pour "l'infini".

En revanche ta question et ton problème sont fondamentalement différents !
Dans un cas tu poses la question "est ce que je peux atteindre" généralement sous-entendant "en un nombre fini éventuellement énorme" de pas, alors que ton problème demande le volume d'un objet.
Cet objet est parfaitement défini, et l'aire sous la courbe (puis le volume de révolution) aussi.

Mais en fait tu te souviendras peut-être que de toute manière les aires sont déjà définies comme des limites...

[beagle]

Pour le mur, si tu vas à vitesse constante, comme je l'avais indiqué en début de fil,
c'est à dire que tu fais la moitié du trajet en t1/2, ben ce n'est pas dans l'infini que tu vas arriver au mur,
mais tu es au mur en deux fois t1/2,
et pourtant tu auras fait 1/2 de distance au mur, puis 1/2 de 1/2, puis encore 1/2 du reste, puis 1/2

tu ne peux pas faire autre chose que cette somme là, et pourtant tu sais bien que tu vas arriver au mur
cette somme des 1/2 est une écriture du 1

s'agissant des différents infinis, cela concerne la cardinalité des infinis,
par exemple l'ensemble des nombres entiers N est infini mais plus petit que l'ensembles des nombres réels, faut taper Cantor dans google avec cardinalité infini et ou bijection tu devrais tomber sur de bonnes refs.

[fransgilles]

faut taper Cantor dans google avec cardinalité infini et ou bijection tu devrais tomber sur de bonnes refs.

Merci Beagle!

[Sylviel]

s'agissant des différents infinis, cela concerne la cardinalité des infinis

Pas seulement. Lorsque l'on veut rajouter "l'infini" à R pour le "compléter" on peut en mettre 1 seul (le tore) ou 2 (+oo et -oo). Pire : lorsque l'on veut compléter le plan par l'infini on peut en mettre 1 seul (tout ce qui est "loin" de l'origine, ou un par direction...) et il y a de très amusants moyens de faire tout ceci (chapitre 3 du Variational analysis de Rockafellar et Wets pour les lecteurs éclairés).

[nodjim]

Pour ajouter de la confusion:
Si tu observes d'un emplacement fixe le rapprochement du bonhomme vers le mur, il est certain qu'à un moment donné, tu ne verras plus de déplacement, tu diras qu'il est arrivé contre le mur. Cependant, si tu te rapproches très près du bonhomme, tu te rends compte qu'il continue d'avancer. Mais dans ce cas là, tu ne vois plus la marque d'où est parti le bonhomme, elle te paraît être à l'infini.
En math, on confond limite et convergence d'une suite à l'infini.

2 points séparés par un intervalle nul sont ils distincts ou confondus ?

[beagle]

Pour ajouter de la confusion:
Si tu observes d'un emplacement fixe le rapprochement du bonhomme vers le mur, il est certain qu'à un moment donné, tu ne verras plus de déplacement, tu diras qu'il est arrivé contre le mur. Cependant, si tu te rapproches très près du bonhomme, tu te rends compte qu'il continue d'avancer. Mais dans ce cas là, tu ne vois plus la marque d'où est parti le bonhomme, elle te paraît être à l'infini.
En math, on confond limite et convergence d'une suite à l'infini.

2 points séparés par un intervalle nul sont ils distincts ou confondus ?

Je ne cromprends pas vraiment ce qui continue d'avancer,
comme je n'aime pas me prendre le mur dans la tronche, lançons un oeuf non dur sur le mur.
D'abord il va franchir la moitié de la distance au mur, puis franchira la moitié de la moitié restante, puis la moitié de la moitié restante, etc et quand il est écrasé au mur, il ne continue plus d'avancer mème si tu te rapproches, il dégouline le long du mur

[nodjim]

D'accord, mais l'oeuf emprunte le continu, implicite dans l'idée du mouvement. C'est le cas typique du paradoxe de Zénon: la moitié restante est parcourue en moitié moins de temps, mais le temps ne ralentit pas lui: l'oeuf arrive au mur. Tandis que l'avancée par bonds tjs plus petits est tout autre: On dénombre les bonds, le temps ne rentre pas en ligne de compte. Maintenant, si tu tiens à l'idée de l'oeuf, c'est à dire que tu veux marquer d'un trait chaque fois qu'il a parcouru la moitié du chemin qu'il lui reste à faire, il va falloir que tu tournes le film au ralenti, et ça va te prendre un temps infini pour marquer tous les traits. Le tout est de savoir si tu considères que le temps infini dont tu disposes te permettra d'aller au bout ou pas. Je te laisse réfléchir à ça.

[beagle]

D'accord, mais l'oeuf emprunte le continu, implicite dans l'idée du mouvement. C'est le cas typique du paradoxe de Zénon: la moitié restante est parcourue en moitié moins de temps, mais le temps ne ralentit pas lui: l'oeuf arrive au mur. Tandis que l'avancée par bonds tjs plus petits est tout autre: On dénombre les bonds, le temps ne rentre pas en ligne de compte. Maintenant, si tu tiens à l'idée de l'oeuf, c'est à dire que tu veux marquer d'un trait chaque fois qu'il a parcouru la moitié du chemin qu'il lui reste à faire, il va falloir que tu tournes le film au ralenti, et ça va te prendre un temps infini pour marquer tous les traits. Le tout est de savoir si tu considères que le temps infini dont tu disposes te permettra d'aller au bout ou pas. Je te laisse réfléchir à ça.

Je ne comprends pas bien tes réserves.
dans le cas habituel de la vie de tous les jours pour aller d'un point A vers le point B,
ben oui tu y arrives facilement et pourtant tu as bien fait l'ensemble des moitiés de moitiés restantes,
ce qui était demandé dès le départ de ce fil de discussion, elles sont faites toutes ces étapes.
de la mème façon que pour arriver si la distance entre A et B est une unité de machin chose, ben tu auras franchis tous les 9 du 0,999..., à un moment t'es passé à 0.9 puis t'étais à 0.99 puis, 0.999

Pour éviter d'avoir à faire le cas habituel, j'avais proposé de modifier le temps,
ce qui nous ramenait il me semble à ton truc à toi,
sauf que c'est pas tellement tiré de l'expérience réelle des déplacements de la vie de tous les jours, ce truc.

[nodjim]

C'est une très bonne approche, beagle: celui qui va jusqu'au mur est bien passé par toutes les moitiés d'intervalles restants.
Cependant, si tu admets l'arrivée au mur au bout d'une infinité de bonds, il faut bien admettre un dernier bond. C'est déja bizarre, d'associer une infinité et un dernier bond, qui signifie une fin. Ensuite, ce dernier bond est de longueur nulle, sinon on pourrait en faire un autre, de longueur moitié plus petite. Mais si ce bond est de longueur nulle, ce n'est pas la peine de le faire, puisqu'on est arrivé contre le mur. Il y a donc bien là un paradoxe.

[beagle]

Bien vu nodjim.
Bon mélanger l'infini et le réel c'est chaud ...

[nodjim]

Pour répondre à la question posée, il faut connaitre la fonction du temps. Si par exemple dans la fonction, il y a un temps fixe pour chaque bond, alors il est évident qu'on n'arrivera jamais à destination. Par contre, si dans la fonction, on ne prend pas en compte les temps de rebond, par exemple en définissant une vitesse constante, alors on arrivera au bout, et on saura calculer le temps pour y arriver.
Le problème est donc posé de façon incomplète.