Résoudre en nombres entiers

par **bandre** » 04 Jan 2014, 16:15

Bonjour ,

on me demande de résoudre x³+2y³=4z³ dans les entiers

est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode de résolution d'une telle équation dans les entiers svp?

ps: j'imagine que cette équation n'a pas de solution car juste avant on dans le cours on parle du principe de la descente infinie, mais je ne comprend pas comment le mettre en oeuvre .

Merci d'avance :)

par **jlb** » 04 Jan 2014, 16:19

bandre a écrit:Bonjour ,

on me demande de résoudre x³+2y³=4z³ dans les entiers

est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode de résolution d'une telle équation dans les entiers svp?

ps: j'imagine que cette équation n'a pas de solution car juste avant on dans le cours on parle du principe de la descente infinie, mais je ne comprend pas comment le mettre en oeuvre .

Merci d'avance

tu montres que x^3 est pair facilement, tu en déduis que x est pair et tu remplaces x par 2x', tu vois alors ce qui se passe

par **bandre** » 04 Jan 2014, 16:26

jlb a écrit:tu montres que x^3 est pair facilement, tu en déduis que x est pair et tu remplaces x par 2x', tu vois alors ce qui se passe

ok je vois dans ce cas comme x est pair on peut montrer qu'on a une suite décroissante infinie etc mais si on a le cas
par exemple de x³+3y³=9z³ ?

par **jlb** » 04 Jan 2014, 16:31

bandre a écrit:ok je vois dans ce cas comme x est pair on peut montrer qu'on a une suite décroissante infinie etc mais si on a le cas
par exemple de x³+3y³=9z³ ?

du coup x^3 est divisible par 3 ( lemme d'Euclide alors x est divisible par 3) tu remplaces x par 3x' tu remplaces et tu regardes ce qui se passe!!

par **bandre** » 04 Jan 2014, 16:43

je comprend mieux merci beaucoup :) !

par **jlb** » 04 Jan 2014, 16:44

bandre a écrit:je comprend mieux merci beaucoup !

n'oublie pas la solution trivial (0,0,0)!!

par **bandre** » 04 Jan 2014, 16:46

est ce qu'on peut dire que ce type d'équation dans les entiers n'aura jamais de solution dû au dernier théorème de Fermat ? ( à part la solution triviale )

par **jlb** » 04 Jan 2014, 16:55

bandre a écrit:est ce qu'on peut dire que ce type d'équation dans les entiers n'aura jamais de solution dû au dernier théorème de Fermat ? ( à part la solution triviale )

euh, je dirais non, cela dépend des coefficients de ton équation: x^3 + 8y^3=64z^3 a pour solution non trivial (0,2,1) par exemple

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