Produit de complexe

[eludante]

Bonjour,

Pour faire cours, voici l'énoncé :
Calculer (en fonction de et ) avec

Donc calculer :

Mon avancement :


Sachant que

J'aimerais de l'aide pour calculer ce produit de cosinus ou sinon une autre piste pourrait surement m'aider.

Merci

[Frede]

Je réponds rapidement pour le cas où il y aurait urgence. Je pense que tu t'es engagée sur une impasse. Les complexes sont traîtres, je pense que (Zk+Z barre k) doit pouvoir se mettre sous la forme d'un produit commençant par (Z+Z barre) ou peut-être (Z + i*Z barre). Mais c'est juste une idée au pif.
J'y réfléchis et je reviens demain

[Frede]

La nuit porte conseil. Je pensais à la formule a²+b²=(a+ib)(a-ib) mais après réflexion, je pense qu'elle ne peut rien nous apporter.

J'abandonne la piste sur laquelle tu t'étais lancée car je sais que quand on a un problème de trigo dont on arrive pas à se sortir, l'astuce c'est de le transformer en problème sur les complexes. Je ne pense pas qu'il serait malin de faire le contraire ici.

Es-tu censée savoir que (cos theta + i sin theta) = e puissance (i theta) ?

Si oui, je pense que c'est de ça qu'il faut partir ici.

Je suis nouveau dans ce groupe et je n'arrive pas à écrire les puissances de la façon normale, c'est pourquoi j'écris comme dans une réponse simple et j'abrège un peu.

En faisant abstraction des rho, tu auras
(Z^n) + (Z barre^n) = (e^i n theta)+(e^ -i n theta)
soit en posant E:=e^i theta
=E + 1/E soit (E² + 1)/E
Le terme suivant sera E² + 1/E² soit (E^4 + 1)/E²

Le terme suivant sera E³ + 1/E³ soit (E^6 + 1)/E³

Le produit des dénominateurs sera facile à effectuer. En ce qui concerne le produit des numérateurs, je te laisse réfléchir.

[eludante]

Donc avec ta méthode je trouve :


Soit avec ta notation :

Effectivement le produit du dénominateur n'est pas très dur mais je ne vois pas trop comment faire celui du numérateur... Je vais continuer à chercher, en tout cas je te remercie de m'avoir donné une piste !

Edit: ça à l'air d'être une suite géométrique mais je n'en suis pas certain...

[eludante]

Bon et bien je ne trouve toujours pas... Quelqu'un peut m'aider avec ce problème ? J'ai beau essayer tout ce que je connais mais rien n'y fait, je ne trouve pas la solution :(

[Frede]

Si je développe le numérateur j'obtiens

avec les deux premiers termes: ce qui est plutôt sympa.

avec le terme suivant:

Ce serait très bien s'il n'y avait pas un en trop.

avec le terme suivant:





Soit en ordonnant:


ce qui redevient sympa
car la 1ère ligne vaut
et la deuxième me parait simplifiable aussi.

Il faudrait pouvoir dire ce que ça donne avec n facteurs. J'y réfléchis...

[busard_des_roseaux]

......................

[Rha]

Bonsoir,

Si vous voulez une autre piste, vous pouvez étudier la fonction qui au réel associe .

En dérivant, on voit que est solution de sur .

edit: Suis-je bête, on retombe sur le produit de départ!

[eludante]

J'ai toujours rien trouvé... Si quelqu'un peut me donner un petit coup de pouce ce serais bien sympa

[eludante]

J'ai toujours rien trouvé... Si quelqu'un peut me donner un petit coup de pouce ce serais bien sympa

[eludante]

Effectivement je me suis trompé mais ça ne résous toujours pas le problème :(.
Merci quand même

[eludante]

Je suis en 1er année prépa MPSI et je n'ai pas encore vu les coefficients de Tchebychev. Je pense que la solution est bien plus simple. D'ailleurs le résultat ne doit pas comporté de somme () ni de produit ( ) mais seulement des fonctions de et

[eludante]

Qu'est-ce que j'ai dis de mal ? Je ne fais absolument aucune critique, c'est pas la peine de réagir comme ça.

[Frede]

Salut, c'est l'emmerdeur qui revient avec sa piste effrayante que personne n'a eu envie d'étudier et pourtant, je crois bien que c'était la bonne piste et que je tiens la réponse.

Mon numérateur effrayant: (E²+1)*(Eˆ4 +1)*...*(E^2n +1), eh bien si tu effectues en prenant les 3 ou 4 ou 5 ou 6 premiers termes, (en bref les n premiers termes) tu t'aperçois qu'il est chaque fois égal à:

E^2(n-1) + E^2(n-2) + E^2(n-3) +.....+ 1

soit E^(2n) - 1 / E² - 1

Et voilà, le reste ne pose pas de problème...

Bon courage. Ton sérieux pour cet exo et l'autre que tu as résolu m'a impressionné.