Norme

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Trident
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Norme

par Trident » 03 Jan 2014, 01:23

Salut à tous, je m'entraîne sur un exercice où il s'agit d'espace vectoriel normé.

Soit E l'espace vectoriels des fonctions continues de [0,1] dans C (où C est le corps des nombres complexes) muni du produit scalaire usuel :

et de la norme

On pose avec 0 0 tel que pour tout f dans E,

. Mais là, je bloque. J'ai écrit que :

pour tout f dans E,



Faut que je compare ceci avec

Merci d'avance.



girdav
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par girdav » 03 Jan 2014, 01:26

On peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour produit scalaire usuel.

Trident
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par Trident » 03 Jan 2014, 01:30

girdav a écrit:On peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour produit scalaire usuel.


Bonsoir girdav.

Je veux bien utiliser Cauchy -Schwarz mais il faut majorer |u(f)| et pas sqrt(). Et Cauchy-Schwarz dit que || <= ||f||²

Trident
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par Trident » 03 Jan 2014, 01:38

Ah nan, je pense que ça marche si on dit :


=

D'où

Trident
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par Trident » 03 Jan 2014, 02:14

Personne ?

barbu23
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par barbu23 » 03 Jan 2014, 04:58

Trident a écrit:Personne ?

Bonjour, :happy3:

Voiçi comment je vois les choses d mon point de vue : :happy3:




Tu continues à expliciter le calcul de : .

Cordialement. :happy3:

mrif
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par mrif » 03 Jan 2014, 04:59

Trident a écrit:Ah nan, je pense que ça marche si on dit :


=

D'où


Avant d'utiliser l'inégalité Cauchy-Schwarz, il faut majorer l'integrale entre 0 et a par l'integralle entre 0 et 1 pour te ramener au produit scalaire défini dans ton exo.

girdav
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par girdav » 03 Jan 2014, 12:43

mrif a écrit:Avant d'utiliser l'inégalité Cauchy-Schwarz, il faut majorer l'integrale entre 0 et a par l'integrale entre 0 et 1 pour te ramener au produit scalaire défini dans ton exo.


À moins que Trident ne connaisse l'inégalié de Cauchy-Schwarz dans le contexte général. D'ailleurs, si on majore par l'intégrale sur l'intervalle unité on obtient un résultat non optimal. Ce n'est pas gênant si on veut seulement montrer que l'opérateur est borné, mais ça l'est plus si on veut calculer explicitement la norme.

mrif
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par mrif » 03 Jan 2014, 14:56

girdav a écrit:À moins que Trident ne connaisse l'inégalié de Cauchy-Schwarz dans le contexte général. D'ailleurs, si on majore par l'intégrale sur l'intervalle unité on obtient un résultat non optimal. Ce n'est pas gênant si on veut seulement montrer que l'opérateur est borné, mais ça l'est plus si on veut calculer explicitement la norme.

La norme de u dépend de la norme définie sur E, d'où la nécessité de se ramener au produit scalaire défini sur E:


girdav
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par girdav » 03 Jan 2014, 15:05

mrif a écrit:La norme de u dépend de la norme définie sur E, d'où la nécessité de se ramener au produit scalaire défini sur E:


Je n'ai pas dit le contraire. Mais on peut d'abord appliquer C-S sur [0,a], puis majorer l'intégrale sur [0,a] de f^2 pour obtenir une constante moins grande (et avoir un calcul plus précis de la norme).

mrif
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par mrif » 03 Jan 2014, 15:06

mrif a écrit:Avant d'utiliser l'inégalité Cauchy-Schwarz, il faut majorer l'integrale entre 0 et a par l'integralle entre 0 et 1 pour te ramener au produit scalaire défini dans ton exo.


Je détaille la démarche:

, qu'on peut majorer d'après Cauchy-Schwarz par:

Ce qui donne: , où x² désigne la fonction carré (x---> x²)

 

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