Restrictions

[Gonra]

bonsoir ,

je cherche la restriction de la fonction h à un intervalle [a,b]..je bloque sur la notion de restriction

h est une fonction de R dans R .strictement monotone.
on l’égalité : |h(x)-h(x')|>=|x-x'| pour tout couple x , x' de R.
[a,b] est un segment de R dont l'image par h est inclus dans [a,b].
h est supposée croissante.

j'ai montré que h(a)=a et h(b)=b , a et b sont des points fixes de h avec l’énoncée

comme h(x) est strictement croissante(supposition) , h(a)Donc avec l'egalité de l'énoncée , h(x)-h(a)>= x-a Or h(a)=a donc h(x)>=x
de même h(x)-b <=x-b or h(b)=b Donc h(x)<=x

Finalement on a h(x)=x sur l'intervalle mais quelle est la restriction ?

Aussi je doit montrer que si h(x)>x alors h(x) équivaut à x en -infini
j'ai pensée au théorème de comparaison mais aucun utilité...
je peux montrer que h(x)=x étant donnée que h(x) est croissante et utilisée la définition de l’Équivalence ?

merci d'avance

[jonses]

j'ai montré que h(a)=a et h(b)=b , a et b sont des points fixes de h avec l’énoncée

Salut,

est-ce que ce serait possible que tu expliques comment tu obtiens ce résultat ?

[Gonra]

Salut,

est-ce que ce serait possible que tu expliques comment tu obtiens ce résultat ?

la fonction h est croissante et [a,b] est un segment (a = 0 et h(b)-h(a)>=0
avec l’inégalité de l'énoncée :

|h(b)-h(a)|>=|b-a| (le cas a-b=b-a


comme h([a,b]) est inclus dans [a,b] , l'intervalle est stable par h

donc à fortiori h(b)-h(a)=b-a et h(b)-h(a)<= b-a
qui implique h(b)-h(a)=b-a
h(b)=b h(a)=a

[jonses]

la fonction h est croissante et [a,b] est un segment (a = 0 et h(b)-h(a)>=0
avec l’inégalité de l'énoncée :

|h(b)-h(a)|>=|b-a| (le cas a-b=b-a


comme h([a,b]) est inclus dans [a,b] , l'intervalle est stable par h

donc à fortiori h(b)-h(a)=b-a et h(b)-h(a)=|x-x'| pour tout couple x , x' de R.
[a,b] est un segment de R dont l'image par h est inclus dans [a,b].
h est supposée croissante.

j'ai montré que h(a)=a et h(b)=b , a et b sont des points fixes de h avec l’énoncée

comme h(x) est strictement croissante(supposition) , h(a)= x-a Or h(a)=a donc h(x)>=x
de même h(x)-b x alors h(x) équivaut à x en -infini
j'ai pensée au théorème de comparaison mais aucun utilité...
je peux montrer que h(x)=x étant donnée que h(x) est croissante et utilisée la définition de l’Équivalence ?

merci d'avance

Je réfléchis, mais vu mon état de fatigue...

[Gonra]

quelqu’un aurait une piste svp ?

[Rha]

Bonjour,

Pour la question sur l'équivalence, tu ne peux pas montrer que à partir de la croissante de (ça serait assez contradictoire vu que tu supposes ).
En revanche tu peux montrer quelque chose de similaire qui permet de conclure avec le "théorème des gendarmes".
A tous les coup c'est ce que tu as déjà fait mais avec une faute d'étourderie, reprends le raisonnement.

[Gonra]

Bonjour,

Pour la question sur l'équivalence, tu ne peux pas montrer que à partir de la croissante de (ça serait assez contradictoire vu que tu supposes ).
En revanche tu peux montrer quelque chose de similaire qui permet de conclure avec le "théorème des gendarmes".
A tous les coup c'est ce que tu as déjà fait mais avec une faute d'étourderie, reprends le raisonnement.

mais on suppose plus que h([a,b])=[a;b]

on sait juste qu'elle est croissante stricte et que h(x)>x qu'elle que soit le réel x dans R
et que |h(x)-h(x')|>=|x-x'| pour tout couple x , x' de R.
j'ai testé :

h(x)>x posons h(x)=y
y>x
donc
h(y)>h(x) par croissance
h(y)-h(x)>0 et y-x>0
|h(y)-h(x)| >= |y-x| en posant x=y et x'=x
h(y)-h(x) >= y-x>0
h(y)-y >= h(x)-x >0

h(h(x))-h(x)>=h(x)-x>0

je suis perdu..

[Rha]

Essaie de montrer que .

[Gonra]

on pose x'=x et x=0 donc


pour est positif donc
et comme h est croissante alors pour

donc

donc





De même , si
on a, en posant,



donc

h(x) equivalent à x en si et en si

[jonses]

on pose x'=x et x=0 donc


pour est positif donc
et comme h est croissante alors pour

donc

donc

Bah là tu as ce qu'il faut pour obtenir l'équivalent en - l'infini, non ? :

Tu as obtenu pour puis gendarmes quand tend vers - l'infini

donc

Je vois pas comment tu obtiens ça, la variable x n'est pas la même pour montrer que pour montrer , non ?

[Gonra]

ah oui c'est exact...:marteau:

Merci pour votre Aides Rha et Jonses !!
Bonne année/soirée