Limite coriace

[barbu23]

Bonjour, :happy3:

J'appelle à votre aide pour calculer : .
J'ai pensé utiliser le TAF
Voici comment :
Sur l'intervalle : : est continue et sur l'intervalle , est dérivable, donc : telle que :
Donc, , car .
Mais, celà n'aboutit pas.

Merci d'avance. :happy3:

[Ericovitchi]

non, la méthode est plutôt de raisonner par l'absurde. Suppose que la limite existe et montre que l'on tombe sur une absurdité (en utilisant cos²n+sin²n=1 ou sin 2n = 2 sin n cos n ) et déduis-en que la suite n'a pas de limite.

[L.A.]

Bonjour.

Tu es très mal parti, ta majoration ne sert pas à grand chose puisque on sait déjà que ...

Il faut plutôt montrer que la limite n'existe pas, étant donné que la suite admet pour valeurs d'adhérence tous les réels entre 0 et 1. Pars du fait que le groupe



est dense dans .

Edit : Ma méthode est sûrement plus compliquée que celle d'Ericovitchi :triste:

[Rha]

C'est une limite très coriace!

Pour compléter un tout petit peu:
Une application de la caractérisation des sous-groupes additifs de permet de montrer que si et sont deux réels dont l'un est rationnel et l'autre irrationnel, est dense dans .

On peut en déduire que pour tout entier naturel , est dense dans .

(en général pour et deux parties denses d'un espace topologique quelconque, l'une des deux étant ouverte, est dense)

Cela permet de montrer l'existence de suites strictement croissantes de d'entiers naturels (i.e. d'extractrices) dont le produit par se rapproche autant qu'on veut de n'importe quel réel modulo .

[barbu23]

Merci pour ces précisions à vous deux @L.A. et @Ericovitchi. :we:
Si on suit d'abord la méthode de @L.A. :
Pourquoi : ?
Soit :
Pourquoi : ?

Edit : Merci à toi aussi @Rha. Je vais lire ce que tu as écrit. :we:

[barbu23]

Merci pour ces précisions à vous deux @L.A. et @Ericovitchi. :we:
Si on suit d'abord la méthode de @L.A. :
Pourquoi : ?
Soit :
Pourquoi : ?

Edit : Merci à toi aussi @Rha. Je vais lire ce que tu as écrit. :we:

[nodjim]

Vu le n qui tourne sur le cercle trigonométrique, c'est plutôt immédiat l'absence de limite, non ?

[Losange]

Il me semble plus simple de trouver deux sous-suites qui ne peuvent pas tendre vers la même limite.

Soit .

Je propose

[deltab]

Bonsoir et Bonne année à toutes et à tous avec mes meilleurs vœux.

Il me semble plus simple de trouver deux sous-suites qui ne peuvent pas tendre vers la même limite.

Soit .

Je propose

Crois tu qu'on puisse utiliser les donnés, la manipulation des parties entières est toujours délicate.

[deltab]

@ Rha

Je préfère utiliser la méthode préconisée par Ericovitchi. Elle a l'avantage de rester 'terre à terre" donc plus accessible et ne nécessite pas une connaisse approfondie de la topologie de .

[barbu23]

@ Rha

Je préfère utiliser la méthode préconisée par Ericovitchi. Elle a l'avantage de rester 'terre à terre" donc plus accessible et ne nécessite pas une connaisse approfondie de la topologie de .

Je ne sais pas comment.
Supposons que :
On pose telle que
Alors : est une suite extraite de qui converge vers ( i.e : )
Contradiction ? :doh:
Merci d'avance. :happy3:

[Losange]

Il me semble plus simple de trouver deux sous-suites qui ne peuvent pas tendre vers la même limite.

Soit .

Je propose

Je détaille :

et


On en déduit que
et

D'où

Si avait une limite elle serait strictement plus grande et strictement plus petite que . Contradiction.

[deltab]

BONNE ANNEE!!! AVEC TOUS MES VOEUX

[Rha]

@deltab:
Tout à fait, ces connaissances sont inutilement "avancées" pour cette question.
En revanche, elles permettent de d'aider à traiter le cas de fonctions périodiques continues quelconques.

Et puis bonne année :)