Sup et Inf

[C.l]

Bonjour,

je bloque sur cet exercice si quelqu'un pourrait m'expliquer?

Montrer que:

supE= -inf(-E)

je ne comprend pas car supE est le plus petit des majorants et inf le plus grand des minorants comment peuvent-ils être égaux?

J'ai la correction mais je ne comprend pas non plus... :cry:

[nodjim]

Si inf(-E) est négatif, ça semble normal, non ?

[C.l]

Si inf(-E) est négatif, ça semble normal, non ?

Pardon?? pas pour moi!!!

[jonses]

Bonjour,

je bloque sur cet exercice si quelqu'un pourrait m'expliquer?

Montrer que:

supE= -inf(-E)

je ne comprend pas car supE est le plus petit des majorants et inf le plus grand des minorants comment peuvent-ils être égaux?

J'ai la correction mais je ne comprend pas non plus...

Salut,

ce résultat découle de la définition de borne sup et borne inf

Bon je suppose que E est une partie non vide de R et bornée (auquel cas, sup(E) et Inf(E) n'ont aucun sens):

Par définition sup(E) est le plus petit majorant de E et inf(E) est le plus grand minorant de E

Déjà

et

Soit

Alors y s'écrit : avec x un élément de E
Or

donc et ce pour tout y de -E

Donc -E est bornée et non vide (parce que E n'est pas vide)

Tu peux donc introduire et respectivement la borne inf et la borne sup de -E et par définition de borne inf tu as :

donc

Mais pour tout x de E, -x est dans -E donc d'où et ce pour tout x de E, donc est un majorant de E et donc par définition de sup(E), on a :



Donc d'où le résultat

Si tu n'as pas tout compris n'hésite pas

[Losange]

supE= -inf(-E)

je ne comprend pas car supE est le plus petit des majorants et inf le plus grand des minorants comment peuvent-ils être égaux?

Attention, ce n'est pas l'inf et le sup du même ensemble, mais l'inf et le sup de deux ensembles différents.
Pour comprendre, je vous conseille de regarder quelques exemples :

• Le sup de [0;1] est-il égal à l'inf de [1;2] ?
• L'inf de [-5;-4] est-il l'opposé du sup de [4;5] ?

[C.l]

Mais comment tu le sais ça? Même dans mes polycopiés il y a une définition de Sup et Inf mais cela ne me permet pas de tirer cette conclusion comme tu las fait....

[C.l]

Salut,

ce résultat découle de la définition de borne sup et borne inf

Bon je suppose que E est une partie non vide de R et bornée (auquel cas, sup(E) et Inf(E) n'ont aucun sens):

Par définition sup(E) est le plus petit majorant de E et inf(E) est le plus grand minorant de E

Déjà

et

Soit

Alors y s'écrit : avec x un élément de E
Or

donc et ce pour tout y de -E

Donc -E est bornée et non vide (parce que E n'est pas vide)

Tu peux donc introduire et respectivement la borne inf et la borne sup de -E et par définition de borne inf tu as :

donc

Mais pour tout x de E, -x est dans -E donc d'où et ce pour tout x de E, donc est un majorant de E et donc par définition de sup(E), on a :



Donc d'où le résultat

Si tu n'as pas tout compris n'hésite pas

Mais comment tu le sais ça? Même dans mes polycopiés il y a une définition de Sup et Inf mais cela ne me permet pas de tirer cette conclusion comme tu las fait....

[jonses]

Mais comment tu le sais ça? Même dans mes polycopiés il y a une définition de Sup et Inf mais cela ne me permet pas de tirer cette conclusion comme tu las fait....

Désolé... j'en étais sûr que ce que j'ai écrit n'est pas très clair...

Dis-moi quel passage tu n'as pas compris stp

[C.l]

Désolé... j'en étais sûr que ce que j'ai écrit n'est pas très clair...

Dis-moi quel passage tu n'as pas compris stp

Mais presque tout! :triste: Justement je me dis que j'ai loupé quelque chose pour ne pas comprendre ça...

[jonses]

Mais presque tout! :triste: Justement je me dis que j'ai loupé quelque chose pour ne pas comprendre ça...

C'est pas assez précis, désolé.

Dis moi par exemple un passage précis sur lequel tu butes

[mrif]

[FONT=Arial Black]Joyeux Noël[/FONT]

[C.l]

C'est pas assez précis, désolé.

Dis moi par exemple un passage précis sur lequel tu butes

A partir de là je ne comprend pas trop bien! Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre

Mais pour tout x de E, -x est dans -E donc inf(-E)\le -x d'où x\le -inf(-E) et ce pour tout x de E, donc \text{-}inf(-E) est un majorant de E et donc par définition de sup(E), on a :

sup(E)\le -inf(-E)

Donc \text{-}inf(-E)\le sup(E)\le -inf(-E) d'où le résultat

[Losange]

Une autre manière de dire les choses est de regarder les ensembles de majorants/minorants.

Appelons l'ensemble des majorants de et l'ensemble des minorants de .

Il faut montrer que .

Pour cela on pose . Il reste alors à montrer que

• 
• est un majorant de .

[jonses]

Mais pour tout x de E, -x est dans -E donc d'où et ce pour tout x de E, donc est un majorant de E et donc par définition de sup(E), on a :

Si tu prends un élément x quelconque dans E, alors -x est dans -E (par définition de -E).
Or tous les éléments de -E sont minorés par sa borne inf, en particulier pour -x, donc on a

alors

soit

mais vu qu'on a choisi x quelconque dans E, cette inégalité est alors vraie pour tout élément de E, donc est majorant de E

Mais étant donné que est le plus petit majorant de E, il est en particulier plus petit que (parce que c'est un majorant de E).

On a donc l'inégalité :

Une autre manière de dire les choses est de regarder les ensembles de majorants/minorants.

Appelons l'ensemble des majorants de et l'ensemble des minorants de .

Il faut montrer que .

Pour cela on pose . Il reste alors à montrer que

• 
• est un majorant de .

Sinon, tu peux te référer à ce qu'a écrit Losange (ce message, ou même son premier avec les deux exemples). A mon avis, c'est très clair (et puis j'aime bien quand ça parle d'ensemble, plutôt que d'inégalités parachutées... comme j'ai fait)

[C.l]

Une autre manière de dire les choses est de regarder les ensembles de majorants/minorants.

Appelons l'ensemble des majorants de et l'ensemble des minorants de .

Il faut montrer que .

Pour cela on pose . Il reste alors à montrer que

• 
• est un majorant de .

-p signifie qu'il est négatif ...?

[C.l]

Si tu prends un élément x quelconque dans E, alors -x est dans -E (par définition de -E).
Or tous les éléments de -E sont minorés par sa borne inf, en particulier pour -x, donc on a

alors

soit

mais vu qu'on a choisi x quelconque dans E, cette inégalité est alors vraie pour tout élément de E, donc est majorant de E

Mais étant donné que est le plus petit majorant de E, il est en particulier plus petit que (parce que c'est un majorant de E).

On a donc l'inégalité :





Sinon, tu peux te référer à ce qu'a écrit Losange (ce message, ou même son premier avec les deux exemples). A mon avis, c'est très clair (et puis j'aime bien quand ça parle d'ensemble, plutôt que d'inégalités parachutées... comme j'ai fait)

Merci j'ai compris! Quel conseil me donnez vous pour être plus à l'aise avec ces notations?

[Sylviel]

Quel conseil me donnez vous pour être plus à l'aise avec ces notations?

1) les manipuler
2) prendre le temps de visualiser les choses
3) se ramener à des exemples (comme conseillé plus haut)

[Losange]

-p signifie qu'il est négatif ...?

Non, -p est l'opposé de p.

Si p=2 alors -p=-2 est négatif.
Mais si p=-3, alors -p=3 est positif.