Opérateur normal compact sur un Hilbert

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Peypeypey
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Opérateur normal compact sur un Hilbert

par Peypeypey » 27 Déc 2013, 16:32

Bonjour
J'ai la situation suivante
Lemme:
Si T:H->H (Hilbert) est normal alors
(i) pour tout n>0 ||T^n||=||T||^n
(ii)r(T)=||T|| (le rayon spectral est égal à la norme opérateur de T)

(Pas de problème avec ce lemme et sa démo)

Corollaire:
Si T est normal compact alors il existe une valeur propre a telle que |a|=||T||

(je ne comprends vraiment ce résultat)
je sais que r(T) = lim (||T^n||)^(1/n) (vrai pour endomorphisme d'un Banach)
= ||T|| (car T est normal, lemme précèdent)
Et après?



girdav
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par girdav » 27 Déc 2013, 16:40

Que dire du spectre d'un opérateur compact par rapport à l'ensemble des valeurs propres ?

Peypeypey
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par Peypeypey » 27 Déc 2013, 16:41

girdav a écrit:Que dire du spectre d'un opérateur compact par rapport à l'ensemble des valeurs propres ?

Si un élément du spectre est différent de 0 alors c'est une valeur propre.

girdav
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par girdav » 27 Déc 2013, 16:49

Et vois-tu le lien avec le résultat sur le rayon spectral ?

Peypeypey
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par Peypeypey » 27 Déc 2013, 16:56

girdav a écrit:Et vois-tu le lien avec le résultat sur le rayon spectral ?

En revenant à la définition du rayon spectral, je crois que oui:

r(T):=sup{|a| ; a dans le spectre de T}

Si r(T)= ||T|| alors il existe un élément du spectre qui est égal à ||T||, qui, si il est différent de zéro ,sera une valeur propre.

En fait , l'hypothèse "opérateur compact" intervient dans le fait que l'élément qui atteint le sup est une valeur propre, me trompe-je?

Dans le cadre le plus général, le rayon spectral est toujours atteint par un élément du spectre car le spectre est toujours compact et la fonction module est continue , non ?

girdav
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par girdav » 27 Déc 2013, 17:43

C'est ça. En dimension finie, valeur propre et élément du spectre sont deux choses identiques. Dans le cadre d'un opérateur compact (donc pas trop loin du cas de la dimension finie) c'est presque vrai.

 

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