Polynômes et racines multiples

par **LoUiSe** » 07 Sep 2006, 22:11

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour résoudre cette question :

P est scindé sur R. Montrer que toute racine multiple de P' (polynôme dérivé de P) est racine de P.

Merci beaucoup à ceux qui pourront m'éclairer. :happy2:

par **Flodelarab** » 07 Sep 2006, 22:16

Moi je ferais ça par récurrence.

Tu montre ça au degré 2 et pour les polynomes d'autres degré tu calcules la dérivée.

ok?

par **yos** » 07 Sep 2006, 22:19

LoUiSe a écrit:Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour résoudre cette question :

P est scindé sur R. Montrer que toute racine multiple de P' (polynôme dérivé de P) est racine de P.

Merci beaucoup à ceux qui pourront m'éclairer. :happy2:

C'est pas plutôt : toute racine multiple de P est racine de P' ???

par **LoUiSe** » 07 Sep 2006, 22:21

je ne crois pas qu'il y ait vraiment moyen de faire une récurrence ici, meme en raisonnant sur les differents degrés, mais peut etre vois tu bien comment faire.

par **LoUiSe** » 07 Sep 2006, 22:23

non c'est le bon énoncé, c'est justement pour ca que c'est difficile

par **Flodelarab** » 07 Sep 2006, 22:24

Flodelarab a écrit:Moi je ferais ça par récurrence.

Tu montre ça au degré 2 et pour les polynomes d'autres degré tu calcules la dérivée.

ok?

Oui je me suis trompé. Tu dois partir du degré 3 pour ta récurrence.

par **Flodelarab** » 07 Sep 2006, 22:28

Au rang le plus bas:

sa dérivée est

a est racine multiple de P'(x) et de P(x)

ça marche

Au rang n (avec n entier supérieur à 3),

polynome de degré n et sa dérivée est .....

par **LoUiSe** » 07 Sep 2006, 22:34

Flodelarab a écrit:
Au rang n (avec n entier supérieur à 3), polynome de degré n et sa dérivée est .....

j'ai l'impression que tu pars de l'hypothese a racine multiple de P pour montrer a racine de P', alors qu'il faut le faire dans l'autre sens.

De plus, je ne vois pas ou se situe le passage du rang n au rang n+1, ou utilises tu l'hypothese de reccurence?

par **Flodelarab** » 07 Sep 2006, 22:47

mon but n'etait pas de poser a en racine multiple mais je l'ai fait quand meme.

Au rang le plus bas:
a est racine multiple de P'(x):

P(x) est bien scindé avec a en racine

a est racine multiple de P'(x) et de P(x)

ça marche

Au rang n (avec n entier supérieur à 2),

polynome de degré n. on a forcément 2

égaux . On développe partiellement en distribuant

quelconque

On reconnait alors une forme u'v+uv'.

non ?
ouiiiii

ok?

par **alben** » 07 Sep 2006, 23:11

Flodelarab a écrit:Au rang le plus bas:
a est racine multiple de P'(x):

+constante

Bonsoir,
Il faut faire l'hypothèse que la constante n'est pas nulle et montrer qu'alors P n'est plus scindé, autrement dit que l'équation z^3=a n'admet pas trois racines dans R.
Ce n'est pas très difficile mais la généralisation est plus délicate

par **LoUiSe** » 07 Sep 2006, 23:17

je suis tout a fait d'accord avec l'initialisation et ce que tu veux faire ensuite en partant de P'.
on a P'(x)=(x-a)²(x-b1)(x-b2).....(x-bi)
et on veut retrouver la formule P'(x)= (x-a)² u(x) + u'(x) (x-a)^3 pour avoir ensuite P= (x-a)^3 u(x)
c'est ca non?
seulement je ne ne vois pas comment passer de la premiere forme de P' à la seconde.

En tout cas je te remercie pour ton aide, et tes idées. :happy2:

par **jose_latino** » 07 Sep 2006, 23:39

LoUiSe a écrit:Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour résoudre cette question :

P est scindé sur R. Montrer que toute racine multiple de P' (polynôme dérivé de P) est racine de P.

Merci beaucoup à ceux qui pourront m'éclairer. :happy2:

Un polynôme scindé est lequel peux s'exprimer comme produit de facteur de premier degré.
Si

est une racine multiple de

, alors

. Mais si

alors

, il faut faire la comparison

, tout est prête.

par **LoUiSe** » 07 Sep 2006, 23:57

merci
j'avais déja cette égalité, mais je ne comprends pas ce qui nous donne le droit de dire qu'alors a est racine de P.

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 01:37

g des doutes sur l'énoncé.

On peut lire sur internet:

CORO 1 : x0 est une racine multiple de P ssi P(x0) = P'(x0) = 0

par **alben** » 08 Sep 2006, 05:38

Flodelarab a écrit:g des doutes sur l'énoncé.

Bonne journée

Dans C l'énoncé serait faux, il suffit de poser P=x^3+1
Je pense qu'il est vrai dans R car la condition P scindé est forte

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 08:35

alben a écrit:Bonne journée

Dans C l'énoncé serait faux, il suffit de poser P=x^3+1
Je pense qu'il est vrai dans R car la condition P scindé est forte

????

Les racines cubiques de l'unité sont bien toutes dans C ?
Donc le polynome est scindé sur C. non?

Je ne comprends pas cette intervention.

J'avais pensé montrer cette vérité compliquée (car on part de P'(x)) par la contraposée ... mais ça n'a pas encore aboutit.

par **nox** » 08 Sep 2006, 08:43

Flodelarab a écrit:Donc le polynome est scindé sur C. non?

ba tout polynôme est scindé sur C de toute façon

par **Roman** » 08 Sep 2006, 09:16

Bonjour,

Flodelarab, ce que alben a voulu dire, c'est que la proposition:

"Soit P un polynome a coefficients dans C. Alors, toute racine multiple de P' (polynôme dérivé de P) est racine de P."

Est FAUSSE !

Contre exemple:

Considerer le polynome X^3 + 1.

Ce polynome est a coefficients dans C (et est donc scinde !!). Son polynome derive est le polynome 3X^2, qui admet 0 comme racine multiple. Cependant, cette racine multiple n'est PAS racine du polynome X^3 + 1.

Par contre, pour ta tentative de demonstration en passant par la contraposee, tu es sur la bonne voie !!! Demande-toi simplement ce que signifie "a n'est PAS racine multiple de P'" !

Roman

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 10:39

J'amene "ma" démonstration qui n'est ptet pas la meilleure mais qui me convainc.
Elle et issue d'une reflexion sur la représentation graphique d'un polynome.

La dérivée P'(x) d'un polynome P(x) scindé est scindé.
P(x) est de degré n. P'(x) est de degré n-1.

P'(x) a n-1 racines (ce qui correspond a n-1 tangentes horizontales pour la représentation de P)
si x0, une des racines de P'(x) est multiple, alors P'(x0)=P''(x0)=0 (tangente horizontale pour la représentation de P'). Donc P'(x) au voisinage de x0 ne change pas signe !!! P(x) varie uniformément (la courbe de P ne change pas de sens de variation)

MAIS! Si on prive P(x) d'un changement de sens, on prive P(x) d'une racine! et le polynome n'est plus scindé ... A moins qu'à l'endroit de la tangente horizontale, on soit sur l'axe des x !!!!!!
Donc P(x0)=0

x0 racine multiple de P'(x) implique x0 racine de P(x).
J'ajoute meme que l'ordre de la racine de P(x) est au moins l'ordre de la racine de P'(x) moins 1

par **nox** » 08 Sep 2006, 10:45

Flodelarab a écrit:P'(x0)=P''(x0)=0 (tangente horizontale pour la représentation de P'). Donc P'(x) au voisinage de x0 ne change pas signe !!!

x^3 ---> tangente horizontale en 0 mais change de signe au voisinage de 0 non ?

Polynômes et racines multiples

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