Fermeture

[zork]

Bonjour,

soient A la fermeture algébrique de dans et B la fermeture algébrique de dans

Je dois montrer que B=A[i]
Autrement dit, montrer que A[i] est algébriquement fermé dans C et algébrique sur Q

Ok pour algébriquement fermé
Mais comment montrer que A[i] est algébrique sur Q?
j'ai z dans A[i] avec z=a+ib où a,b réels et j'aimerai l'existence d'un polynômes P dans tel que P(z)=0


merci

[L.A.]

Bonsoir.

Il suffit de montrer que les puissances de z dans C sont dans un Qev de dimension finie, or le sev
Q(a,b,i) de C (= le corps engendré par a,b et i) convient puisque




qui est fini. ([L:K]désigne la dimension d'un corps L sur un sous corps K en tant que Kev).

[zork]

j'aimerai bien avoir la démo à partir de la définition c'est-à-dire montrer z est algébrique dans Q

[Doraki]

Si g est un polynome qui annule z et f est le polynome minimal de z sur Q(i), il est clair que g doit se factoriser (sur Q(i)) de manière à ce que f en soit un facteur. De plus, le conjugué de f est aussi un facteur de g (puisque g est réel) donc c'est naturel de regarder f * le conjugué de f.

Donc tu prends un polynome f à coefficients rationnels tel que f(z,i) est nul et tu regardes g(z) = f(z,i)*f(z,-i).

[zork]

je prend z dans A[i]
je sais que z=a+ib annule le polynôme suivant:
x²-2ax+(a²+b²)

mais le problème c'est que a et b ne sont pas forcément dans Q
comment résoudre ce problème?

[Ben314]

Si tu veut (quasi) revenir à la définition, fait la même chose que pour montrer que la somme (ou le produit ou l'inverse...) de deux éléments algébriques est algébrique :
Comme a est algébrique Q(a) est un Q-e.v. de dimension finie de base
Comme b est algébrique Q(b) est un Q-e.v. de dimension finie de base
Montre que toutes les puissances de z=a+ib restent dans un Q-e.v. de dim finie p et ça prouvera que la famille est forcément liée vu qu'elle est de cardinal p+1 plus grand que la dimension de l'espace dans lequel elle vit.

P.S. ça consiste à faire "à la main" ce que disait L.A.