Equation du mouvement

[Archytas]

Salut,
J'ai cette équation :

Et je voudrais savoir à quel type de mouvement ça correspond ! J'avais entendu parlé à ce sujet de pendule dans un fluide avec un mouvement entretenu ! Mais je vois pas trop d'où sortent les termes en x et en x^3 !
Je suis peut être dans le mur, donc si vous voyez un mouvement autre c'est pas grave ce qui me faut c'est juste coller un mouvement à cette équation !

[Mathusalem]

Salut.

Le premier terme, c'est l'accélération qui vient du bilan des forces dans la deuxième loi de Newton.
Le deuxième terme, c'est un terme de friction qui atténue le mouvement. Le terme en -x+x^3 est pour le moins étrange. Le signe positif signifie qu'il s'agit d'un attracteur car dx^2/dt^2 = -x implique que x tend à revenir tjs vers sa position d'équilibre, et là le -, de l'autre côté fait +.
Du coup, t'as un truc qui se comporte comme un attracteur à grande distance, et répulseur à courtes distances. Le terme à droite est effectivement un terme d'entraînement.

Donc tu as une sorte d'oscillateur amorti entraîné, mais bizarre du fait de -x+x^3

[Archytas]

D'accord je vois ! Et le terme cosinus wt ? C'est pas très commun, ça représente quelque chose ?

[Mathusalem]

D'accord je vois ! Et le terme cosinus wt ? C'est pas très commun, ça représente quelque chose ?

Le terme à droite est effectivement un terme d'entraînement.

Imagine un objet ponctuel, de masse m. L'équation différentielle de son mouvement est issu de la seconde loi de Newton. Imaginons une situation en 1D. La somme des forces agissant sur la masse ponctuelle équivaut à sa masse fois son accélération qui en découle


L'accélération est la deuxième dérivée temporelle de la position



La force du ressort, c'est typiquement F = -kx, mais ici t'as un truc bizarre qui est F = +kx-x^3

La force d'amortissement, c'est F = -bv, une force qui est dans le sens opposé de la vitesse, donc qui amorti.

La force d'entrainement, c'est F = Acos(wt) : c'est une force qui pousse en avant en arrière. Imagines que tu attaches un ressort à la vis d'un cadran d'un moteur en rotation. C'est ce genre de force.

C'est la force d'entrainement qui est a l'origine des phénomènes de résonance

[Sourire_banane]

En jargon mécanicien (ou électronicien d'ailleurs), c'est pas ce qu'on appelle des oscillations forcées ?

[Archytas]

Ok je vois à peut près ...
Donc on pourrait voir le truc comme un pendule dans un fluide avec un courant ayant pour vecteur une chose sinusoïdale ?
Et en quoi le fait que d²x/dt²=-x implique que c'est un attracteur :hein: (s'en est effectivement un) et pourquoi d²x/dt²=-x ?

[Skullkid]

Bonjour, il suffit de regarder le signe de ta force en x - 4x^3 : quand elle est négative elle tire "vers la droite", quand elle est positive elle tire "vers la gauche". Un moyen plus immédiat de le voir est de se souvenir que les forces qui ne dépendent que de la position dérivent d'un potentiel. Dans ton cas, un potentiel associé est x^4 - x²/2 :

[center][/center]

Là on voit bien que ton point a tendance à tomber dans les puits de potentiel, donc à courte distance (inférieure à 0,5 en valeur absolue) la force tend à éloigner le point de la position x = 0. Mais à grande distance, la force rappelle le point vers x = 0.

Ce genre de potentiel à double puits apparaît assez souvent en mécanique quantique, par exemple pour modéliser la liaison entre deux atomes au sein d'une molécule, mais je ne l'ai jamais rencontré en classique. Imaginer un mouvement macroscopique obéissant à ton équation risque d'être assez dur... Peut-être un montage de ce genre en rajoutant des aimants soigneusement placés pour construire le potentiel désiré... ?

[Archytas]

Ok, bon c'est plus compliqué que ce que je pensais, l'équation provient d'un livre dans lequel il est évoqué que cette équation provient d'un article de Arrechi et Lisi "non linear attractor" dans la suite l'équation est posée puis étudiée sans dire d'où elle provient et pour mon TIPE ça aurait été pas mal que je parte d'un pb de physique pour introduire l'équation mais malgré ce que vous m'avait indiqué je pense que je vais avoir du mal à le concrétiser.
A oui pour l'article d'Arrechi, sur les sites où j'ai été et où il se trouvait il m'était demandé de payer pour y acceder, si vous pouviez l'obtenir sans paiement ça serait sympa de mettre le lien ici !

[Skullkid]

Ta première leçon de futur chercheur de la mort : donne la référence complète des articles ! En fait ce qui compte c'est pas tant le titre, mais le journal, le numéro etc. J'ai un peu galéré en cherchant un article qui contiendrait "nonlinear oscillator" dans le titre, alors que l'article s'appelle "Hopping Mechanism Generating 1/f Noise in Nonlinear Systems"... Bref, si tu me files une adresse email par MP je peux te l'envoyer (ainsi qu'un commentaire publié un an après par un autre auteur qui apparemment n'est pas fan de l'article :D).

Dans l'article ils écrivent "In order to study the routes to chaos in nonlinear nonequilibrium physical systems we have built a suitable electronic oscillator with a cubic nonlinearity imposed by a selected field-effect transistor device and driven by an external modulation." Donc en gros ils ont branché un circuit RLC à un générateur de tension sinusoïdale et ils ont jeté un transistor dans le tas pour avoir le fameux terme en x^3 qui fait toute la bizarrerie de l'équation. Note que les auteurs eux-mêmes ne s'intéressent pas vraiment au système qui obéit à l'équation, ils disent "faites-nous confiance, on a un système qui obéit à cette équation, et maintenant on va vous expliquer pourquoi c'est très intéressant".

[Mathusalem]

Salut,

J'ai lu l'article ainsi que le commentaire. J'ai ensuite cherché ce qu'est un TIPE. C'est un travail de longue durée à effectuer au Lycée '- en Terminale?

Au niveau physique, pour un Terminale, l'article est imbuvable. Moi, je l'ai trouvé très intéressant (même si ils se sont plantés dans l'analyse - c.f commentaire) mais c'est de la physique statistique du Master avec quelques notions de mécanique analytique.

Il faut savoir ce qu'est un attracteur, il faut savoir pourquoi des sauts irréguliers entre deux attracteurs témoignent du régime basse-fréquence de la densité spectrale, il faut savoir ce qu'est la densité spectrale (de puissance) et ce qu'elle représente. Dans l'idéal, il faudrait connaître les spectres des différents types de bruits (blanc p.ex). Il faudrait comprendre pourquoi les diagrammes de phases sont ceux qu'ils sont, au vu du plot de Skullkid plus haut.
Et une fois que tout ca est compris, il faudrait comprendre pourquoi ils s'intéressent tant à ce système.
Pour ma part, ça ne me dérange pas qu'ils n'explicitent pas le système plus loin que ça. Ils ont clairement deux valées autour de 0 (c.f diagramme de phases) et ils publient dans P.R.L, donc tout ce qui peut être passé sous le tapis l'est par défaut.

Au niveau de ton TIPE, tu dois faire quoi exactement avec cette équation ?

PS: C'est quand même beau ce qu'ils faisaient avec leur matos en 82

[Mathusalem]

J'ai aussi trouvé un article ou ils explicitent le circuit d'un transistor qui pour un signal d'entrée V_in renvoie V_out = aV_in^3 + bV_in, avec a et b qui dépendent des éléments du circuit.

La référence :

IEE 1998
Electronics Letters Online No:19980898
A.A. Ciubotaru 'Cube-law circuit using Junction field-effect transistors'


C'est complètement inintéressant, donc pour ton TIPE, tu peux dire que le terme d'attraction répulsion x-4x^3 vient d'un transistor bien choisi. Une méthode de fonctionnement serait d'avoir un élément qui lit la position x du pendule, ou quoique ce soit qu'ils font osciller, qui transforme cette position en un signal proportionnel à la position, V_in. Le signal est envoyé au transistor qui sort une réponse en aV_in + bV_in^3, et un autre élément lit cette réponse et applique une force proportionnelle à ce signal au pendule. Puisqu'il y a correspondence entre V_in et x, t'as au final une force qui va en ax+bx^3.

On peut t'envoyer les articles si ça t'intéresse d'avoir du concret sous la main.

[Archytas]

Ok merci à vous (: !
Alors Mathusalem en effet au lycée y a un truc qui s'appelle le TPE (Travaux Personnel Encadré ou un truc du genre) je sais plus si c'est en 1ère ou term à mon époque (avant la réforme c'était en term). Moi je vais un TIPE (le I c'est initiative) et ça se fait entre la sup et la spé (je suis en MP*). Et sinon je vous ai filé tout ce que l'auteur à bien voulu mettre (arrechi and lisi...). L'auteur du bouquin part après sur les portraits de phase de l'équation et observe des bifuraction en faisant varié k (au départ c'est une boucle difforme, après c'est une sorte de bretzel mal fait après on à deux bretzels etc...) ça a un rapport avec les dédoublements de période il me semble ! ça serait donc de l'élec' d'après vous :( ? De pire en pire j'en trave que dalle dans cette chose encore la méca ça passait...
Sinon l'équation c'est qu'un prétexte. En gros ça donne : voilà et système et hop une équation et hop un portrait de phase et voilà le chaos (le TIPE porte sur le chaos et plus spécialement les attracteurs à une deux ou trois dimension et on est pas encore fixé si on reste dans le discret (style Hénon) ou on met un peu de continu (Lorenz)). Et du coup ça fait mieux de partir du système que de l'équation d'où l'objet du topic. Je vous transmet mon mail par MP.

PS: je sais pas ce que c'est un transistor !

[Mathusalem]

C'est envoyé.

Je sais pas trop ce que c'est la sup et la spé, mais j'imagine que tu n'en es pas encore au niveau universitaire (ou alors au début?).

L'article en soit est trop avancé je pense. Et il ne présente pas l'intérêt d'introduire le système concret.

L'autre article te montre concrètement comment réaliser une réponse en x-4x^3, étant donné un input en x. C'est un petit circuit éléctrique 'facile' à réaliser. Ca a l'intérêt particulier d'avoir concrètement sous la main une méthode pour réaliser concrètement le système que tu étudies. Mais tu t'en fous que ce soit de l'électronique, tu n'as pas à rentrer dans les détails. Il te suffit de savoir qu'un tel composant existe et si nécessaire tu as même ses plans. Pour ton travail, la seule chose qui t'intéresse c'est qu'il existe un circuit électrique qui transforme un input A en un output A-4A^3.

Si tu as de la peine à comprendre comment réaliser le système en question, je peux te faire un dessin vite-fait d'un montage possible. Il te suffit simplement d'attacher la masse que t'étudies à un truc qui lit l'output du circuit spécial et qui applique une force proportionnelle à l'output sur la masse. Un autre truc mesure la position de la masse d'une certaine manière et envoie l'input au circuit, qui le transforme, et qui applique la force, etc.. Ca, ça te fait ton ressort 'un peu bizarre' en x-4x^3.
Ensuite, tu plonges le tout dans un liquide visqueux pour avoir le terme -bv, et tu montes l'appareil sur un moteur sinusoidal qui te donne la force d'entraînement.

La masse suivra l'équation différentielle que tu donnes. Ensuite ça reste de la mécanique analytique pour le comportement chaotique etc..

[Archytas]

Ok oui, on essaie de ne pas tomber dans les extrèmes et pour éviter d'en arriver là on fait le moins de physique possible et on essai de faire un truc 100% maths & info mais on s'est dit qu'introduire par un problème concret ça serait pas si mal mais si l'expérience amenant l'équation n'est elle même qu'un prétexte pour en venir à l'équation ça perd sont interet. Pour l'instant on a programmé (sous maple et un peu sous caml) l'attracteur de Lorenz, le diagamme de bifurcation de l'équation logistique, l'attracteur de Hénon et là je viens de programmer le portrait de phase de l'équation au dessus. En théorie on en a pas fait super beaucoup parce que c'est presque totalement hors programme (ça parle de difféomorphisme, section de poincaré et autres bestioles peu commodes).