Problème avec la continuité de x²y²/(x²+y²)

[irfaan03]

Bonjour,

Alors voila , j'ai un souci et je bloque un peu avec la limite en 0 des fonctions à deux variables.

En fait j'ai une fonction f(x) = x²y²/(x²+y²) et la question est la suivante;

Montrer que la fonction est continue sur R²\{0,0} puis étudier le problème de prolongement en (0,0)

je sais qu'on peut passer en coordonnées polaires pour trouver la limite en (0,0) mais je ne comprend pas comment dire que la fonction est continue sur R²\(0,0)

Merci beaucoup..

[Ben314]

Salut,
Effectivement, ici, le plus simple est sans doute les coordonnées polaires.
Si tu prend et , ça te permet de montrer que ce qui montre que f(x,y) tend vers 0 lorsque tend vers 0 indépendamment de

[Archibald]

Bonjour,

problème assez classique. Il suffit de remarquer que :

donc que

maintenant que ta fonction est encadrée, tu peux passer aux limites et conclure par le théorème des gendarmes.


édit : on pourrait aussi s'approcher de l'origine selon une parabole

[Joker62]

Pour répondre à la vraie question :

La continuité sur R^2\{(0,0)} c'est juste parce que c'est une fraction rationnelle en x et y.
Elle est donc continue là où elle est définie.

[irfaan03]

SUPER ! MERCI BEAUCOUP :)

Donc on peut aussi dire que x²+y² ;) x²

et donc 1/ x²+y² ;) 1/x² => x²y²/x²+y² ;) x²y²/x² => x²y²/x²+y² ;) y²

et conclure que la limite = 0 n'est ce pas?

En tout cas merci beaucoup :)

[Archibald]

Non, on ne peut pas conclure de cette façon.

Le théorème des gendarmes c'est un encadrement, ici, rien ne nous permet de dire que

Tu sais juste qu'elle est inférieure ou égale à 0, nuance.

D'où l'utilisation de la valeur absolue pour encadrer ta fonction. Tu sais comment l'utiliser, n'est-ce pas ?

[irfaan03]

Non, on ne peut pas conclure de cette façon.

Le théorème des gendarmes c'est un encadrement, ici, rien ne nous permet de dire que

Tu sais juste qu'elle est inférieure ou égale à 0, nuance.

D'où l'utilisation de la valeur absolue pour encadrer ta fonction. Tu sais comment l'utiliser, n'est-ce pas ?

Oui j'ai une idée mais tu peux me l'expliquer quand même?
Merci

[Ben314]

...Tu sais juste qu'elle est inférieure ou égale à 0, nuance.

Là, tu chipote un peu : Sur le principe théorique, O.K., mais là, la fonction est clairement positive...

[Archibald]

Quand j'écrivais mon poste, j'avais en tête xy² au numérateur... ceci explique cela.

@irfaan03 :

mais ici tu n'en a pas besoin car la fonction est positive sur tout R².