J'ai l'impression que, ça fonctionne bien, mais... uniquement dans les corps infinis...
Tes coeffs, c'est des formes linéaires en d=dim(l'e.v.) variables et le déterminant de ta matrice "générique" c'est un polynômes en d indéterminés, qui, quelque soient les valeurs prises par les d indéterminées est nul.
Mais dans un corps fini, ça ne prouve pas que c'est le polynôme nul. Par exemple, sur Z/2Z, la matrice
dépendant des paramètres a et b est non inversible pour tout a,b de Z/2Z, mais tu ne peut pas la "décomposer" comme tu le fait vu que le déterminant n'est pas le polynôme nul (au sens formel du terme) mais une fonction polynôme nulle (i.e. il est nul quelque soient les valeurs de a et b dans Z/2Z)
Après, à titre de "rustine", sur les corps finis, il y a une solution simple : on sait qu'il y existe des polynômes irréductible de tout degré, donc en particulier de degré n (= taille des matrices) et si on prend pour A une matrice compagnon d'un tel polynôme P, le polynôme minimal de A sera P donc la sous algèbre K[A] de Mn(K) engendré par A sera un corps vu qu'elle est isomorphe à K[X]/P.
Donc ça fourni un s.e.v. de dimension n de Mn(K) qui, à part la matrice nulle, ne contient que des matrices inversibles ce qui évidement limite la dimension d'un s.e.v. ne contenant aucune matrice inversible à n²-n.
Après, en utilisant justement les matrices compagnon, je me demande s'il n'y aurais pas une preuve regroupant les deux cas (corps fini et infinis...)