Ben314 a écrit:Justement, c'est là qu'il faudrait que je (re)regarde comment fonctionne le revêtement par l'algèbre de Lie, mais il me semble bien que la multiplication (à droite par exemple) dans SO(3) n'est pas une isométrie, donc de chercher la géodésique de Id à MbMa-1 puis de regarder l'image de cette géodésique par la multiplication à droite par Ma (c'est ce qu'on a fait pour le moment), ce n'est pas la même chose que de chercher la géodésique de Ma à Mb (ce qui, sauf erreur, vient du fait que Exp(x+y) n'est plus égal à exp(x)*exp(y) si x et y ne commutent pas)
je suis ptetre fatigué, mais je doute fortement de ton groupe qui n'agit pas par isométrie sur lui-même.
Comme j'ai pas de définition de distance naturelle sur SO(3) qui me vient immédiatement à l'esprit, je peux pas en dire plus.
Pour reprendre tes notations, Pour aller de Id à MbMa-1, on va utiliser R(t)=exp(t.A) où A est antisymétrique, donc pour aller de Ma à Mb, on va utiliser S(t)=exp(t.A).Ma.
Si on écrit Ma=exp(A') avec A' une autre matrice antisymétrique, ça donne S(t)=exp(t.A).exp(A'), mais, si A et A' ne commutent pas, ça ne sera pas de la forme ext(t.A+A') alors que ça serait de cette forme en "relevant" Ma en A' et en "relevant" Mb en A+A' (si t varie de 0 à 1)
A partir du moment où tu prends le log de Ma, tu jettes aux orties mon critère de naturalité "ne dépend pas du repère initial" (ce qui rejoint ma remarque que Ma lui même n'est pas de type T -> T, mais Ma et Mb sont de type T -> U, donc leur log n'a aucun sens, mais Mb Ma-1 lui est de type U -> U, et là le log a un sens ; si on a pas de bonne raison de supposer Ma de type T -> T, ben je le suppose pas), donc je prédis que tu vas avoir des trucs moches.
(de même les axes et les angles de M(t) dépendent du repère initial donc ne sont pas un truc naturel à considérer a priori)
oui je déteste les trucs qui dépendent du repère initial.
P.S. T'aurais pas une idée de génie concernant le post sur les s.e.v. de Mn(k) ne contenant que des non inversible ?
A part espérer que (X est de dimension n²-n, ne contient pas de matrice inversible, et il n'y a pas de vecteur x tel que Ax = 0 pour tout A de X) implique dim (Im X) = n-1, je vois pas trop.
J'ai aussi la vague impression d'avoir déjà vu le problème quelquepart.
vers Mb !
