Matrice non inversible

[nino00]

bonsoir,
je suis coincé sur une question si vous pouvez m'aider la dessus:
Montrez que la dimension maximale d'un sous espace de Mn(IK) ne contenant aucune matrice inversible est n(n-1).
merci d'avance :we: .

[Ben314]

Bonsoir,
La question est... intéressante...
Je pense qu'on s'en sort en cosidérant que, si deux matrices A et B sont telles que A+tB soit non inversible pour tout t réel t, cela signifie que le déterminant de A+tB, qui est un polynôme en t, et nul pour tout t donc que tout ces coeffs sont nuls.
Sauf que le coeff en c'est...

[nino00]

Bonsoir,
La question est... intéressante...
Je pense qu'on s'en sort en cosidérant que, si deux matrices A et B sont telles que A+tB soit non inversible pour tout t réel t, cela signifie que le déterminant de A+tB, qui est un polynôme en t, et nul pour tout t donc que tout ces coeffs sont nuls.
Sauf que le coeff en c'est...

ok merci je vais voir si je peux y arriver

[Ben314]

ok merci je vais voir si je peux y arriver

En fait, non, ça a pas l'air de marcher mon truc...

[nino00]

En fait, non, ça a pas l'air de marcher mon truc...

oui je ne sais pas comment faire :we:

[Ben314]

Bon, ça fait une heure que je cherche à montrer... un truc faux (et qui pourtant aurait été utile pour ton truc...) à savoir :
Si et sont deux matrices telles que alors il existe une matrice inversible dans
Contre exemple assez simple et sauf que, comme j'était persuadé que c'était vrai, ben j'ai pas cherché de contre exemple...

Mais, en voyant le contre exemple, je tenterais bien un truc du style :
Si et sont deux matrices telles que et alors il existe une matrice inversible dans
Si c'est vrai, sauf erreur, ça permettrais de conclure.

[nino00]

Bon, ça fait une heure que je cherche à montrer... un truc faux (et qui pourtant aurait été utile pour ton truc...) à savoir :
Si et sont deux matrices telles que alors il existe une matrice inversible dans
Contre exemple assez simple et sauf que, comme j'était persuadé que c'était vrai, ben j'ai pas cherché de contre exemple...

Mais, en voyant le contre exemple, je tenterais bien un truc du style :
Si et sont deux matrices telles que et alors il existe une matrice inversible dans
Si c'est vrai, sauf erreur, ça permettrais de conclure.

ça reste quand meme flou.
je pense qu il faut procédé par une application injective de cet espace vers un autre de dimension egale à n(n-1) par exemple l espace {M de Mn(K) / Cn(M)=0} Cn la dernière colonne de M egale à 0 partout quelque chose comme ça

[mr_pyer]

Bonjour,

Je pense que j'ai une solution (pour ou ...)

Considérons une matrice de rang maximal de notre sev (composé uniquement de matrices non inversibles) de . Sans perte de généralités .

1) Nécessairement aucune matrice a des coefficients non nuls si et sont (sinon si est assez petit).

2) Maintenant supposons qu'il existe tel que et soient simultanément non nuls. Alors pour assez petit ce qui est impossible puisque est supposé de rang maximal.

Là c'est fini puisque l'on obtient nécessairement coefficients nuls.

Edit : Correction de nombreuses fautes de frappes.
Edit 2 : Le 2) je suis pas sûr que ça soit vrai en fait...

[Ben314]

Je pense que c'est bon, mais il y a un truc à rajouter à la fin :
quand tu dit qu'il y a forcément n coeff nuls dans A, ça me semble parfaitement O.K. (en précisant ), mais le problème, c'est qu'il faudrait montrer que les positions des fameux n coeffs nuls, c'est les même pour toutes les matrices A de l'e.v. de départ (pour le moment tu montre juste que chaque matrice a n coeff nuls).
Mais il doit suffire de considérer deux matirices A et A' où les 0 ne seraient "pas aux même endroits" puis des combinaisons linéaires des deux pour montrer que ça déconne...

[mr_pyer]

Je pense que c'est bon, mais il y a un truc à rajouter à la fin :
quand tu dit qu'il y a forcément n coeff nuls dans A, ça me semble parfaitement O.K. (en précisant ), mais le problème, c'est qu'il faudrait montrer que les positions des fameux n coeffs nuls, c'est les même pour toutes les matrices A de l'e.v. de départ (pour le moment tu montre juste que chaque matrice a n coeff nuls).
Mais il doit suffire de considérer deux matirices A et A' où les 0 ne seraient "pas aux même endroits" puis des combinaisons linéaires des deux pour montrer que ça déconne...

En fait n'a pas nécessairement n coeffs nuls sur la dernière ligne et la dernière colonne, avec n=3 on a par exemple :
n'est pas inversible...

[wserdx]

Je pense qu'on peut peut-être montrer d'abord que la dimension maximale d'un Ev de ne contenant que des matrices de rang au plus est .
Ensuite il suffit de dire que si une matrice non inversible, son rang est au plus .

[wserdx]

Je propose la piste suivante (mais je ne l'ai pas vérifiée complètement)
Si A et B sont deux sev de , de base respective et alors le sev (que je note peut-être abusivement) de
de base contient toutes les matrices dont l'image est contenue dans A et dont le noyau contient l'orthogonal de B.
Réciproquement, si E est un sev de , on définit A comme la somme des images des matrices de E, et B comme la somme des orthogonaux des noyaux des matrices de E, alors E est contenu dans
Un sev maximal ne contenant pas de matrice inversible sera donc tel que dim(A)=n dim(B)=n-1 ou bien
dim(A)=n-1 dim(B)=n

[Ben314]

Sauf erreur, pour montrer que si dim(A)=dim(B)=n alors le s.e.v. E contient forcément une matrice inversible, tu as besoin de ça :

Si et sont deux matrices telles que et alors il existe une matrice inversible dans

non ?
Sauf que ça, j'y arrive pas...

[wserdx]

ben, si dim(A)=dim(B)=n, alors , d'où , qui contient bien quelques matrices inversibles, non? ou alors je n'ai pas compris ta remarque.

[Ben314]

ben, si dim(A)=dim(B)=n, alors , d'où , qui contient bien quelques matrices inversibles, non? ou alors je n'ai pas compris ta remarque.

Ca, ça veut dire que tu fait l'hypothèse que le s.e.v. E se présente forcément sous la forme et je ne vois pas pourquoi il en serait forcément ainsi...

d'ailleurs, tu le fait remarquer toi même :

Réciproquement, si E est un sev de , on définit A comme la somme des images des matrices de E, et B comme la somme des orthogonaux des noyaux des matrices de E, alors E est contenu dans

donc ce n'est parce que contient des matrices inversibles que E en contient forcément...

bon, sinon, ça aussi c'est faux :

Si et sont deux matrices telles que et alors il existe une matrice inversible dans

Et c'est l'exemple de mr_pyer :
et

[wserdx]

Ce n'est pas une hypothèse, cela se déduit du fait que E est de dimension maximale, et que pour A et B définis dans mon post précédent.

Il y a un point que je précise, qui n'est peut-être pas évident : toutes les matrices de
sont de rang au plus égal à min(dim(A), dim(B)). Donc en particulier si dim(A)=n, dim(B)=n-1 ou dim(A)=n-1, dim(B)=n, toutes les matrices de
sont de rang au plus n-1, donc non inversibles.

[Ben314]

Dans le cas où avec a et b les matrices çi dessus, on a et E ne contient que des non inversibles alors que, bien sûr contient des inversibles.
Donc je ne vois absolument pas en quoi la "maximalisé" de E te garanti qu'il est de la forme (ne pas oublier que ce que tu a le droit de supposer, c'est que E est de dimension maximale parmi les s.e.v. ne contenant que des non inversibles)

[Ben314]

Donc en particulier si dim(A)=n, dim(B)=n-1 ou dim(A)=n-1, dim(B)=n, toutes les matrices de sont de rang au plus n-1, donc non inversibles.

Ce que tu est en train de dire, c'est que, partant d'un s.e.v. E quelconque de Mn(R), si on calcule ton A et ton B, alors,
Ca c'est O.K., mais après, c'est la réciproque que tu utilise et... elle est fausse... (contrairement à ce que j'intuitait au début...)

[wserdx]

Bon ben ok, ma piste ne marche pas. Je vais étudier le contre exemple!

[wserdx]

J'ai repris ma première idée, à savoir quelle est la dimension maximale d'un EV ne contenant que des matrices de rang au plus r ?
Pour r=1, je suis à peu près convaincu qu'un tel EV est de la forme ou , et que donc la dimension est n.
Pour r=2, je pense qu'un EV maximal est la somme directe de 2 EV maximaux pour r=1, la dimension serait donc 2n. Quelqu'un voit-il comment le démontrer ou bien un contre-exemple ?
Si c'est vrai, je pense également qu'on doit pouvoir démontrer par récurrence qu'un EV maximal pour r est la somme directe de r EV maximaux pour 1.