ahmedbo a écrit:Mais bon je crois que je vais procéder ainsi :
En calculant, les premiers termes je remarque que la suite semble être égale a
Un= (B^((2^n)-1)) * U0^(2^n)
J'applique une petite recurrence pour le démontrer et CQFD!
ps : J'ai pas trop compris ton histoire corestreindre, restreindre le domaine... Sourire_banane
C'est la méthode qu'on emploie en général pour traiter la convergence d'une suite qui satisfait à une relation de récurrence de type U_(n+1)=f(U_n) :
Après avoir identifié l'expression de la fonction f à étudier, il faut la définir. Donc donner un intervalle qui soit adapté à son étude pour la restreindre à cet intervalle. En général, pour ce genre de suites, le plus intéressant c'est de trouver un intervalle où f est définie mais corestreindre (restreindre mais pour l'ensemble d'arrivée) l'ensemble d'arrivée à ce même intervalle (on parle alors d'intervalle stable par f).
En effet, si tu ne fais pas gaffe à bien restreindre ta fonction à des intervalles adaptés (c'est le nom qu'on a donné à de tels intervalles), la suite ne sera pas définie pour tout n et c'est là qu'il y aura un hic.
Ensuite, on a tendance à regarder la monotonie de f. Pour cela, on a déjà un théorème qui stipule que pour une telle suite définie par récurrence, si f est strictement croissante, alors la suite est monotone. Pour savoir si elle est croissante ou décroissante, reste plus qu'à comparer u0 et u1, enfin de manière générale les deux premiers termes de la suite.
Alors on trace la fonction f, on s'inspire du théorème des points fixes pour différencier d'éventuels cas (si u0 est supérieur à un point fixe, inférieur, s'il y a deux points fixes ou davantage, etc.) pour ensuite déterminer l'éventuelle convergence de f vers ces points.
Mais en effet, je suis allé un peu loin vu que l'exo ne demande que de donner l'expression de u_n. Désolé.
Par contre, la méthode de traitement d'une convergence de suite définie par la relation de récurrence u_(n+1)=f(u_n) est à retenir, notamment pour l'année prochaine.
Ici on pouvait se contenter de conjecturer une expression et la montrer par récurrence.
