Analyse

[maths699]

Bonjour, je dois répondre à la question suivante mais je ne sais pas comment m'y prendre :

Soit A inclus dans R et soit f: A vers R une fonction continue qui ne s'annule jamais. Est-ce
vrai que f a un signe constant ? Manque-t-il une hypothèse ?

Merci de votre aide

[Manny06]

Bonjour, je dois répondre à la question suivante mais je ne sais pas comment m'y prendre :

Soit A inclus dans R et soit f: A vers R une fonction continue qui ne s'annule jamais. Est-ce
vrai que f a un signe constant ? Manque-t-il une hypothèse ?

Merci de votre aide

s'il existe x1 et x2 tels que par ex f(x1)0
l'image du segment [x1;x2] par f est un segment [a;b] tel que [f(x1);f(x2)]inclus dans [a;b]
par suite la valeur intermédiaire 0 est atteinte par f

[Skullkid]

Bonjour, c'est un peu dur de te guider là-dessus sans te donner la réponse, mais un bon début peut être de réfléchir à quels sont les objets qui entrent en jeu dans l'énoncé, et quelles propriétés ils sont supposés vérifier.

L'énoncé doit également te sembler familier, normalement tu as déjà utilisé la continuité d'une fonction qui ne s'annule jamais pour conclure quant à son signe. La question est alors : quand tu fais ce raisonnement, utilises-tu une autre hypothèse ?

[maths699]

on doit utiliser le TVI ?

[Skullkid]

Le TVI est bien le théorème qui doit te venir à l'esprit. Écris l'énoncé complet du TVI et compare avec ton énoncé à toi.

[maths699]

d'accord merci

[maths699]

Soit f : [a, b] ;) R une application continue, alors pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = u.
En vérité je ne sais pas par où commencé :/

[Skullkid]

Ok donc dans le cas particulier où tu veux montrer qu'une fonction ne s'annule pas, tu utilises le TVI dans le cas particulier u = 0. Ou plus précisément, tu utilises la contraposée :

(1) Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a,b] ;) R une application continue. Si f ne s'annule pas sur [a,b] alors f garde un signe constant sur [a,b].

Plus précimént tu utilises la contraposée (si f ne s'annule pas sur [a,b] alors f(a) et f(b) ont forcément le même signe). Maintenant compare avec l'énoncé qui t'est proposé

(2) Soit A une partie de R et f : A ;) R une application continue. Si f ne s'annule pas sur A alors f garde un signe constant sur A.

Vois-tu la différence entre (1) et (2) ? Est-ce que (2) est vrai ?

[maths699]

Je dirais que non f ne garde pas un signe constant sur A

[Skullkid]

Je dirais que non f ne garde pas un signe constant sur A

Pourquoi ? As-tu un contre-exemple ?

[Sylviel]

Si A n'est pas connexe...