Matrice ( image)

[maths-in]

Je cherche a demontrer que l'orthogonal de l espace vectoriel engendre par image de A ( une matrice ) estegal au noyau de la transposee de A sachant que : l'orthogonal de lespace vectoriel enendre par les lignes de A est egal au noyau de la transposee de A

Pour m'aider on me donne comme indication que les lignes de la transpoee de A egal a limage de A ( (LigneA)^T = image de A)

Alors j'arrive à le démontrer il suffit d'appliquer la transposee à ca: l'orthogonal de lespace vectoriel enendre par les lignes de A est egal au noyau de la transposee de A
Mais la je me demandai que voulais bien signifier :
(LigneA)^T = image de A et la je me suis dis que c'est equivalent a colonne de A = image de A

or colonne de A = image de A c'est faux c'est plutot Im A = vect[colA] non ??

[Ben314]

Bonsoir,
Oui, l'image de A, c'est bien l'espace vectoriel engendré par les colonnes de A donc, modulo de passer de vecteurs colonnes à des vecteurs lignes, c'est l'espace vectoriel engendré par les lignes de la transposé de A qui, vu le "sachant que" est...

[maths-in]

Ok mais donc ecrire ca colonne de A = image de A
cest faux

[Ben314]

ben c'est quand même un peu raccourci...
Perso, je me ferais ch... à dire :
Soient C1,C2,...,Cn les colonnes de A alors Im(A)=vect{C1,C2,...,Cn} et les transposés des vecteur colonnes C1,C2,...Cn sont les lignes de la transposée de A.