Mesure de Lebesgue sur espaces matriciels

[Seb31]

Voici l'intitulé de mon exo :

Soit U une matrice orthogonale, on sait qu'il existe une matrice antisymétrique A telle que U=exp(A)
Pouvez-vous proposer une mesure à partir de la mesure de Lebesgue sur l'espace produit des matrices antisymétriques et des matrices diagonales?

On m'a conseillé de regarder la formule d'intégration de Weyl...

J'ai du mal à voir comment partir... Toute aide serait la bienvenue !

Seb

[Elizabet]

Voici l'intitulé de mon exo :

Soit U une matrice orthogonale, on sait qu'il existe une matrice antisymétrique A telle que U=exp(A)
Pouvez-vous proposer une mesure à partir de la mesure de Lebesgue sur l'espace produit des matrices antisymétriques et des matrices diagonales?

On m'a conseillé de regarder la formule d'intégration de Weyl...

J'ai du mal à voir comment partir... Toute aide serait la bienvenue !

Seb

C'est un début de réponse établi à la question : l'espace des matrices antisymétriques et l'espace des matrices diagonales étant des espaces vectoriels de dimension finie auront des mesures de Lebesgue. Si les antisymétriques ont été munies du produit scalaire - elles deviennent un espace euclidien avec une mesure de Lebesgue naturelle qui donnera la masse au cube unité. Sur le groupe orthogonal , il y a une mesure naturelle normalisée de Haar, dont la construction est expliquée là : pour tout Borelién et pour tout de où est la dimension....