Famille libre

[maths-in]

Bonsoir j'ai un peu de mal avec un exercice :

Momtrer qu'une famille (u1,u2....up) de vecteurs de V est livre ssi la famille ([u1]B , [u2]B, ...[up]B) de leur colonnes de composantes est libre dans R^n.

Alors j'ai pensé au faite que
u = P [u]B pour P est la matrice de passage

soit x1....,xp des reels

(u1,u2....up) est libre :

x1u1 + x2u2 ,....+xpup =0
ssi x1 =x2....=xp =0

je dois demonter ca
x1P[u1]B + x2P[u2]B +....xp[up]B =0

mais je ny arrive pas..
Merci

[Ben314]

Bonsoir,
C'est le genre d'exercice que j'appellerais volontiers de "l'en... de mouches", mais il faut quand même savoir le faire...

Dire que dans ton espace vectoriel V, la famille (u1,u2....up) est libre, ça veut dire que :


Sauf que c'est quoi les coordonnées du vecteur dans ta base B ?
Et il faut (et il suffit) qu'elles soient comment les coordonnées de ce vecteur pour que le vecteur soit nul ?
conclusion.

[Ben314]

je dois demonter ca
x1P[u1]B + x2P[u2]B +....xp[up]B =0

NON : ce que tu doit montrer, c'est que,
si x1P[u1]B + x2P[u2]B +....xp[up]B =0 alors x1=x2=...=xp=0

[maths-in]

Oui pardon

Sauf que c'est quoi les coordonnées du vecteur \lambda_1 u_1+\lambda_2 u_2+...\lambda_p u_p dans ta base B ?
Et il faut (et il suffit) qu'elles soient comment les coordonnées de ce vecteur pour que le vecteur soit nul ?

(je pose lambda = c)
dans la base B on a
c1u1 ------> c1[u1]B

c1[u1]B + ....cp[up]B = 0

mais comment je peux monter que c1=c2=...cp=0 est l'unique solution
pour pouvoir conclure que la famille ([u1]B , [u2]B, ...[up]B) est libre

[maths-in]

C'est bon j'ai trouvé
On suppose que (u1,u2....up) libre
Soit la famille ([u1]B , [u2]B, ...[up]B)

On pose l'équation
c1[u1]B + ....cp[up]B =0
[c1u1+....cpup]B = 0

ssi c1u1+....cpup = 0 ( pour voir [0]B = 0 )

Or on a supposé (u1,u2....up) libre donc c1u1+....cpup = 0 admet pour unique solution c1 =c2...=cp=0

Tu en penses quoi

[Ben314]

Que c'est tout bon.

et que c'est de "l'enc... de mouche", c'est à dire que tu n'écrit rien d'interessant à part des définitions (ou presque)
Mais il FAUT savoir le faire (ne serait-ce que pour pouvoir dire ensuite "c'est complètement con"...)