Problème inégalité de Tchebychev

[jeanclaude89]

Bonjour,

Je dois démontrer avec l'inégalité de Tchebychev l'inégalité suivante :
pour k>1, exp(-(k+1)) <= 1/k^2

J'avais pensé à utiliser une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1, pour retomber sur exp(-(k+1)) à gauche et sur du 1/nombre choisi à gauche...mais je n'arrive jamais à trouver du k^2... j'ai aussi essayé avec le moment d'ordre 2 d'une loi exponentielle en posant h(X)=X^2 mais non plus...

Le problème c'est que je n'arrive pas à voir la "big picture", je suis bloqué sur l'idée qu'il faut utiliser une loi exponentielle et un nombre epsilon bien choisi.

Pourtant je me doute bien que c'est une autre méthode, car appliquée à une loi exponentielle de paramètre s l'inégalité donne : exp(-sx)<1(sx)...si on utilise le moment d'ordre 2 elle donne exp(-sx)<2/(sx)^2... et ainsi de suite. Mais je ne vois pas comment faire apparaître une exponentielle avec une autre loi, à part à la limite du poisson.

Est-ce que quelqu'un aurait une piste? Je ne demande pas la réponse complète

Merci d'avance

[jeanclaude89]

Cela n'inspire personne? :)

[Joker62]

Hello,

Si on prend X qui suit une loi exponentielle de paramètre , on a :

d'où :



Or

[jeanclaude89]

Ok, merci beaucoup.

Je n'avais pas pensé à cette piste car l'énoncé disait Tchebychev et non Bienaymé-Tchebychev, mais je suppose que comme c'est une application directe on doit pouvoir l'utiliser.