Equation différentielle

[darkmarsa]

Bonjour

J'ai actuellement un problème d'équation différentielle, voici l'énoncé :

On considère les 3 équations différentielles suivantes :

dy/dx -2x=0 (1)

dy/dx +2x=0 (2)

(dy/dx)^2-4x^2=0 (3)

Soit S1, S2 et S3 les ensembles de solutions respectives des équations (1), (2) et (3).

La question : Démontrer que l'ensemble S3 n'est pas inclus dans l'ensemble S1US2

Comment feriez-vous ? Merci ^^

[Ben314]

L'équation (3) peut s'écrire (dy/dx-2x)(dy/dx+2x)=0 et, comme un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul, c'est que dy/dx-2x=0 ou bien dy/dx+2x=0.
Jusque là, on a l'impresion que S3=S1US2, sauf qu'effectivement, c'est faux à cause des quantificateurs qu'on aurait du mettre devant les équations :

(1) On cherche les fonction x->y(x) telle que, pour tout x, dy/dx -2x=0
(2) On cherche les fonction x->y(x) telle que, pour tout x, dy/dx +2x=0
(3) On cherche les fonction x->y(x) telle que, pour tout x, [ dy/dx -2x=0 ou bien dy/dx +2x=0]

Donc, par exemple, une fonction vérifiant dy/dx -2x=0 pour x négatif ou nul et dy/dx +2x=0 pour x positif ou nul est une solution de (3), mais ce n'est pas une solution de (1) ni de (2).

[darkmarsa]

J'essayais de trouver une fonction ayant une formule générale sur R, c'est à dire dont la formule ne variait pas selon où l'on se trouve sur R, c'est effectivement là où ça coinçait car je n'arrivais pas à trouver une telle fonction.

Du coup effectivement avec une fonction dont la formule est :-x^2 quand x<0 et
x^2 quand x>0
On arrive bien à trouver une fonction qui résout l'équation (3) mais ni (1) ni (2) sur R

Merci!

[bbassin59]

Bonjour à tous,

je suis face à une équation différentielle qui se présente comme ceci :

(E) : (x^2 + 1)y'' - 2y = 0

Cependant la question me perturbe un peu :

Montrer qu'une solution polynomiale de (E) autre que la fonction nulle est nécessairement de degré 2. Déterminer une telle solution polynomiale yo.

De mon côté j'ai essayé deux méthodes :

Dans un premier temps j'ai divisé (E) par (x^2 +1) => y'' - (2/(x^2 + 1))y = 0 (H) avec comme solution général de (H) : k*exp(2arctan(x))
et donc je cherche une solution yo ( yo de la forme k*u(x) avec u(x)=exp(2arctan(x)) ) et je me retrouve avec : (x^2 + 1)(k'(x)u(x)) = 0 ( car u(x) est solution de H )
cependant je bloque car pour la solution général de (E) il faut que j'intègre k'(x) pour trouver k(x)...


deuxième méthode, j'ai utilisé l'équation homogène de (E) : (x^2+1)r^2 -2r = 0
solutions : r1 = 0 r2= 2/(x^2 + 1)
donc solutions générales de (H) => (lambda + nu*exp(2x/(x^2+1)) mais je sais pu trop où aller ou quoi faire pour répondre à la question posée... quelqu'un peut m'aider svp ?

[Ben314]

Salut,

Dans un premier temps j'ai divisé (E) par (x^2 +1) => y'' - (2/(x^2 + 1))y = 0 (H) avec comme solution général de (H) : k*exp(2arctan(x))

C'est faux (vérifie en dérivant 2 fois la fonction exp(2arctan(x)))
Je suppute que tu as voulu appliquer une méthode qui ne marche que pour les équa.diff. du premier ordre.

...j'ai utilisé l'équation homogène de (E) : (x^2+1)r^2 -2r = 0...

Faux aussi : ton équa.diff. n'est pas à coeff. constants donc il n'y a pas "d'équation caractéristique" associée (l'équation que tu obtient en remplaçanl les dérivées n-ième par des puissance de r, ça s'appelle "équation caractéristique" et pas "équation homogène")

Conclusion : Et si tu essayait de suivre les indications données dans l'exercice, ça serait peut-être une piste, non ?

[bbassin59]

vais y réfléchir d'avantage alors.. merci pour les rectifications apportées :)