Théorie des groupes

[bipbip8]

Bonjour,

Soit un groupe {e,a,b} muni d'une loi interne *
je sais que mais comment prouver que ne peut pas être égal à e?
Ca voudrait dire que avec a différent de e et je pense pas que ça soit mathématiquement possible, mais pourquoi ?

[leon1789]

Juste une précision avant de te répondre plus en détail.

L'élément e, habituellement, c'est ainsi que l'on note l'élément neutre pour la loi interne.
C'est le cas aussi pour toi, non ?

[bipbip8]

Oui c'est bien mon cas

[Ben314]

Perso, je comprend rien à l'énoncé :
Si {e,a,b} muni de la loi * est, comme tu l'affirme, un groupe de neutre e, alors (par définition de l'inverse), on a

Ensuite me vient à l'esprit que ça doit être une faute de frappe de ta part et qu'en fait l'hypothèse dit juste que * est une loi interne sur {e,a,b} (sans qu'on sache si c'est un groupe ou pas).
Sauf que, dans ce cas (ou c'est pas forcément un groupe), ça désigne quoi la notation ?

Et pour finir, ton "a = a^{-1} avec a différent de e et je pense pas que ça soit mathématiquement possible", je te signale que, dans le groupe R* muni de la multiplication, le neutre, c'est e=1 ce qui n’empêche pas -1 (différent de e) de vérifier (-1)*(-1)=e donc d'être son propre inverse.
(de façon générale, lorsque a*a=e, on dit que a est une involution)

[bipbip8]

Si, {e,a,b} est bien un groupe de loi interne *

ça désigne quoi la notation ?

C'est l'inverse de a.

(-1)*(-1)=e

Tu prends l'exemple de R* qui est infini alors que mon groupe est fini ça change pas quelque chose ?

Pardon y'a une erreur dans mon enoncé c'est a*a=b et je voulais la demonstration que a*a ne peut pas être égal à e. En effet, si a*a=e ça veut dire que a = a^-1 avec a différent de e. Tu me dis que c'est possible dans R* mais alors est ce que c'est aussi possible dans ce groupe fini ?

[Ben314]

Si désigne l'inverse de , alors, par définition du mot "inverse", tu as .

Concernant le fait que R* est infini, si a la place , je prend G={1,-1,i,-i} (où i est le complexe de carré égal à -1), tu vérifiera rapidement que c'est bien un groupe pour la loi x, qu'il est fini et qu'il contient a=-1 différent de e=1 et qui vérifie a*a=e.

Ce qui par contre est vrai, c'est que pour avoir un (ou des) élément(s) d'un groupe fini qui vérifient et , il faut que le groupe ait un nombre pair d'éléments (mais je ne pense pas que ce soit un résultat que tu ait déjà vu)

[Ben314]

Pardon y'a une erreur dans mon enoncé c'est a*a=b et je voulais la demonstration que a*a ne peut pas être égal à e. En effet, si a*a=e ça veut dire que a = a^-1 avec a différent de e. Tu me dis que c'est possible dans R* mais alors est ce que c'est aussi possible dans ce groupe fini ?

Si tu sait que a*a=b et que tu te demande si il est possible que a*a=e, ben ça veut bêtement dire que tu te demande s'il est possible que b=e.

En général (mais il y des fois des petites exceptions) lorsque l'on écrit un ensemble "en extension", c'est à dire sous la forme G={?,?,?,...,?}, il est sous entendu que les trucs entre les accolades sont distincts.

Dans ton exo, vu l'énoncé, je suis (quasi) certain qu'il faut considérer que e,a et b sont distincts.

[bipbip8]

Et si on savait pas que a*a=b ... ? et que je me demande si a*a=e ...
En tout cas les 3 éléments sont bien distincts ça c'est sur

[Ben314]

Il y a un "gros théorème" qui dit que dans un groupe d'ordre impair (3 par exemple) un a distinct de e qui vérifie a*a=e, il ne peut pas y en avoir.

Dans un cas aussi petit (3 éléments), on doit aussi pouvoir le prouver "à la main".
Dans un groupe, si a*x=a*y alors x=y (en multipliant par a^(-1) à gauche)
Si on a a*a=e, vu que a*e=a, il n'y a plus le choix pour a*b vu qu'il doit être différent de e et de a : On a forcément a*b=b. Sauf que ça conduit (en multipliant par b^(-1) à droite) à a=e ce qui est faux.

[bipbip8]

Il y a un "gros théorème" qui dit que dans un groupe d'ordre impair (3 par exemple) un a distinct de e qui vérifie a*a=e, il ne peut pas y en avoir.

Dans un cas aussi petit (3 éléments), on doit aussi pouvoir le prouver "à la main" en étudiant différents cas.

hmm :spy:
je ne connaissais pas ce théoreme mais je sais qu'on avait le groupe {e,a,b,c} et que notre prof a remplit le tableau de conjugaison de ce groupe comme cela :

[CENTER][/CENTER]

Si on le lit on voit que a*a = b alors qu'on aurait très bien pu avoir a*a=e d'après ce théorème ...
(En tout cas merci pour la demo, j'ai bien compris)

[Ben314]

Le tableau que tu as mis ne correspond VRAIMENT pas à celui d'un groupe :

- On a a*a=b=a*c qui en multipliant par a^(-1) à gauche donne a=c : absurde
- Idem b*b=b=b*e devrait donner (dans un groupe) b=e : absurde.
- Si tu regarde la ligne correspondant à a, il n'y a pas de x tels que a*x=e : a n'a pas d'inverse.
- Idem pour b : il n'a pas d'inverse
- Ton tableau donne a*(b*c)=a*a=b mais aussi (a*b)*c=c*c=e : la loi n'est pas associative

[bipbip8]

Olala oui j'écris n'importe quoi, c'est

[CENTER][/CENTER]

[Ben314]

Là, c'est bon.
Et en fait, ton groupe, c'est {1,i,-1,-i} muni de la loi x :
e=1
a=i
b=-1
c=-i

[bipbip8]

Ah oui c'est pour ça qu'on a b*b = e c'est -1 * -1 = e comme tu disais tout à l'heure. Ok ben merci ça parait clair comme de l'eau de roche maintenant. Merci
Bonne soirée.